Intégrale entre deux courbes

[MGconcept]

Bonjour à tous,

Je vais essayer d'être concis. Je cherche à démontrer que les aires entre 2 courbes sont équivalentes.
C'est dans le cadre d'une application économique. Je voudrais essayer de montrer que les gains fiscaux apporter par le type d'amortissement dégressif sur les premières années sont compensé sur les dernières années de la durée de vie d'un actif.
J'ai d'abord estimer l'équation lié au amortissement dégressifs par régression polynomiale:
f(x)=-0,00001x^5 + 0,0003x^4 - 0,0028x^3 + 0,0167x^2 - 0,085x + 0,2959

La fonction lié au amortissements linéaires est égale à une constante:
g(x)=0,1

L'intersection des deux courbes se situe à 4,1695 (estimation par la méthode Newton Raphson)



J'ai essayer de prendre le pb par un autre coté (calculé l'intégrale de la premiere fonction puis de la seconde et de comparer les deux)
En fait l'intervalle de calcul est [1,10] et à partir de la 6ème année l'amortissement dégressif redevient linéaire d'ou la forme de la courbe. La courbe f(x) est donc composé de deux équation (J'ai trouvé plus facile de l'estimer par régression polynomiale ça réduit l'intégrale à une seule fonction.)
Mais sur [1,7] la fonction est f(x)=0,225*(1-0,225)^(x-1)
et sur ]7,10] la fonction est f(x)=0,05416

L'integrale de g(x) est très simple et peut être calculé de tête (=0,9)
Normalement l'intégrale (que ce soit celle du polynome ou de la fonction composé ci dessus) doit être identique à quelque chose près or je trouve 0,85255 0,9.

Si qqun pouvait me dire ce qui n'allait pas, merci d'avance.

[chan79]

f(x)=-0,00001x^5 + 0,0003x^4 - 0,0028x^3 + 0,0167x^2 - 0,085x + 0,2959

La fonction lié au amortissements linéaires est égale à une constante:
g(x)=0,1

L'intersection des deux courbes se situe à 4,1695 (estimation par la méthode Newton Raphson)

salut
je trouve 4,5637 pour l'abscisse du point d'intersection. Il y en a un autre à 6.5273

[MGconcept]

salut
je trouve 4,5637 pour l'abscisse du point d'intersection. Il y en a un autre à 6.5273

Je ne comprend pas que tu puisse trouver 2 racines sur l'intervalle [1,7] puisque f(x) est monotone sur cet intervalle?! De plus le graphique fait état d'une et une seule solution (1 seul croisement entre les deux courbes) dont la valeur en abscisse se rapproche d'avantage de 4,1695 que de 4,56. Je suis à peu près sure de mon approximation. Le problème doit venir d'autre part.
Je précise la primitive que j'ai utilisé sur l'intervalle [1,7[: F(t)=(0,225/ln0,775)*exp^((t.ln0,775) avec t=x-1

[chan79]

Je ne comprend pas que tu puisse trouver 2 racines sur l'intervalle [1,7] puisque f(x) est monotone sur cet intervalle?! De plus le graphique fait état d'une et une seule solution (1 seul croisement entre les deux courbes) dont la valeur en abscisse se rapproche d'avantage de 4,1695 que de 4,56. Je suis à peu près sure de mon approximation. Le problème doit venir d'autre part.
Je précise la primitive que j'ai utilisé sur l'intervalle [1,7[: F(t)=(0,225/ln0,775)*exp^((t.ln0,775) avec t=x-1

Salut
J'ai simplement tracé les deux courbes de f et g

[Black Jack]

Si on a bien f(x) = 0,225*(1-0,225)^(x-1) sur [1,7], il n'y a aucune difficulté à intégrer directement.

0,225 . S (1-0,225)^(x-1) dx = 0,225 * 0,775^(x-1) / ln(0,775)

S(de 1 à 7) 0,225 . S 0,775^(x-1) dx = 0,225/ln(0,775) * [0,775^(x-1)](de 1 à 7) = 0,225/ln(0,775) * (0,775^6 - 0,775^0) = 0,69146
**********************
Mais je renifle une erreur dans tes expressions de f(x), en effet :

f(x)=0,225*(1-0,225)^(x-1) donne f(7) = 0,04875... et est donc différent de f(x) = 0,05416 quand x --> +7-

Bref, il est pratiquement sûr qu'il y a des bisbrouilles dans ton énoncé.

Au lieu de mélanger ce que tu as fait avec des morceaux d'énoncé, il vaudrait probablement mieux mettre l'énoncé seul.

:zen:

[MGconcept]

Si on a bien f(x) = 0,225*(1-0,225)^(x-1) sur [1,7], il n'y a aucune difficulté à intégrer directement.

0,225 . S (1-0,225)^(x-1) dx = 0,225 * 0,775^(x-1) / ln(0,775)

S(de 1 à 7) 0,225 . S 0,775^(x-1) dx = 0,225/ln(0,775) * [0,775^(x-1)](de 1 à 7) = 0,225/ln(0,775) * (0,775^6 - 0,775^0) = 0,69146
**********************
Mais je renifle une erreur dans tes expressions de f(x), en effet :

f(x)=0,225*(1-0,225)^(x-1) donne f(7) = 0,04875... et est donc différent de f(x) = 0,05416 quand x --> +7-

Bref, il est pratiquement sûr qu'il y a des bisbrouilles dans ton énoncé.

Au lieu de mélanger ce que tu as fait avec des morceaux d'énoncé, il vaudrait probablement mieux mettre l'énoncé seul.

:zen:

En fait il n'y a pas d'énoncer, c'est mon propre énoncer. Pour répondre à Black Jack, mon énoncé est bon j'ai seulement mal noté mes intervalles de définition (Je m'en excuse) et je te prie de bien vouloir réessayer avec ces intervalles de définition.

[1,7[ f(x)=0,225(1-0,225)^(x-1)
[7,10] f(x)=0,05416

Désoler encore pour l'erreur dans l'énoncer.

ps: je trouve bien 0,69146 comme toi, c'est déjà un premier point.
Et pour répondre à Chan79, tu travail sur Geogebra j'ai l'impression, je pense que tu n'a pas du bien lire l'énoncé. L'équation que tu a tracé sur Geogebra n'est définie que sur R+ car il s'agit d'amortissement (toujours positifs) et qu'à partir de x=7 la fonction f(x)=0,05416 et non plus le polynôme. Mais je te remercie encore pour ta réponse

[Black Jack]

En fait il n'y a pas d'énoncer, c'est mon propre énoncer. Pour répondre à Black Jack, mon énoncé est bon j'ai seulement mal noté mes intervalles de définition (Je m'en excuse) et je te prie de bien vouloir réessayer avec ces intervalles de définition.

[1,7[ f(x)=0,225(1-0,225)^(x-1)
[7,10] f(x)=0,05416

Désoler encore pour l'erreur dans l'énoncer.

ps: je trouve bien 0,69146 comme toi, c'est déjà un premier point.
Et pour répondre à Chan79, tu travail sur Geogebra j'ai l'impression, je pense que tu n'a pas du bien lire l'énoncé. L'équation que tu a tracé sur Geogebra n'est définie que sur R+ car il s'agit d'amortissement (toujours positifs) et qu'à partir de x=7 la fonction f(x)=0,05416 et non plus le polynôme. Mais je te remercie encore pour ta réponse

f(x) n'est pas continue en x = 7
en effet :
lim(x --> 7) 0,225(1-0,225)^(x-1) = 0,04875 et est donc différent de f(7) = 0,05416

Et cela sent mauvais l'erreur d'énoncé.

:zen:

[MGconcept]

f(x) n'est pas continue en x = 7
en effet :
lim(x --> 7) 0,225(1-0,225)^(x-1) = 0,04875 et est donc différent de f(7) = 0,05416

Et cela sent mauvais l'erreur d'énoncé.

:zen:

Je comprend ce que tu veux dire Black Jack. Et en effet j'ai calculé le point de croisement de f1(x) représenté par 0,225(1-0,225)^(1-x) et f2(x) représenté par 0,05416 et il vaut 6,58. Et il est vrai que normalement elle devrait se croisé au point (7,0.05416). Le pb c'est que la fonction f1(x) est bien la fonction représentative du comportement des amortissements de t=1 à t=7 (j'ai extrait la fonction par un raisonnement par récurrence) et à la période 7 les amortissements sont linéaire et valent 0,05416 alors comment faire puisque l'on voit bien que la somme des amortissements vaut 1 dans les deux cas. Cela traduit nécéssairement des intégrale équivalente non? Je me demande si le pb ne vient pas de l'intervalle [6.58, 7]?

Je te met les screen shot de mon tableur.

[Black Jack]

Je comprend ce que tu veux dire Black Jack. Et en effet j'ai calculé le point de croisement de f1(x) représenté par 0,225(1-0,225)^(1-x) et f2(x) représenté par 0,05416 et il vaut 6,58. Et il est vrai que normalement elle devrait se croisé au point (7,0.05416). Le pb c'est que la fonction f1(x) est bien la fonction représentative du comportement des amortissements de t=1 à t=7 (j'ai extrait la fonction par un raisonnement par récurrence) et à la période 7 les amortissements sont linéaire et valent 0,05416 alors comment faire puisque l'on voit bien que la somme des amortissements vaut 1 dans les deux cas. Cela traduit nécéssairement des intégrale équivalente non? Je me demande si le pb ne vient pas de l'intervalle [6.58, 7]?

Je te met les screen shot de mon tableur.

Quitte à dire une bétise :

L'intégrale représenterait l'amortissement s'il était fait jour par jour (et même seconde par seconde)
Mais j'ai bien l'impression que ce n'est pas ce qui est fait en pratique.

On pratique, on y va par "escaliers".
On prend la valeur de la courbe en t = 1 (soit f(1) = 0,225) et on la considère comme était celle là toute l'année.
Ensuite, on prend la valeur de la courbe en t = 2 ans (soit f(2)=0,225*(1-0,225)^(2-1) = 0,174375) et on la considère comme était celle là toute l'année.
et ainsi de suite...

Si on fait alors la somme des ces valeurs gardées chacune un an, soit 0,225 + 0,174375 + ... + 0,06290585 + 4*0,05416, on trouve alors 1 au bout des 10 ans.

La somme représente alors la surface que j'ai teintée en violet ... Cette somme est évidemment différente de l'intégrale.




:zen:

[MGconcept]

Quitte à dire une bétise :

L'intégrale représenterait l'amortissement s'il était fait jour par jour (et même seconde par seconde)
Mais j'ai bien l'impression que ce n'est pas ce qui est fait en pratique.

On pratique, on y va par "escaliers".
On prend la valeur de la courbe en t = 1 (soit f(1) = 0,225) et on la considère comme était celle là toute l'année.
Ensuite, on prend la valeur de la courbe en t = 2 ans (soit f(2)=0,225*(1-0,225)^(2-1) = 0,174375) et on la considère comme était celle là toute l'année.
et ainsi de suite...

Si on fait alors la somme des ces valeurs gardées chacune un an, soit 0,225 + 0,174375 + ... + 0,06290585 + 4*0,05416, on trouve alors 1 au bout des 10 ans.

La somme représente alors la surface que j'ai teintée en violet ... Cette somme est évidemment différente de l'intégrale.




:zen:

Oui c'est bien ça Black Jack.
Maintenant j'ai vu que l'intégration des courbes en escalier utilise des méthodes d'intégration plutot complexe (intégrale de Lebesgues ou Riemann) mais comme il s'agit d'amortissement à pas constant (h=1) la somme de Riemann est tout simplement égale à la somme des f(xi). En fin de comtpe je viens de me rendre compte que mon problème n'en était pas vraiment un :s.
Merci qd même à toi