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Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Archytas
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par Archytas » 23 Juin 2013, 19:32
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Eurekha
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par Eurekha » 23 Juin 2013, 20:17
Salut,
J'ai trouvé une méthode assez simple, enfin de mon point du vue, tout dépend de ce que tu appelle simple ^^ la voici :
En regardant les premières valeurs de la suite
, on s'aperçoit que
, ce qu'on démontre par récurrence :
cas
: trivial
cas
:
(d'après l'hypothèse de récurrence)
(d'après la définition de la suite
)
ce qui démontre la proposition.
Étant donné que la suite
est strictement croissante (car
) :
d'où :
!
Eurekha
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Archytas
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par Archytas » 23 Juin 2013, 20:20
Oui c'est ce que j'ai fais aussi. Enfin j'ai un peu noirci le papier avant du coup ça m'avait l'air plus long, ça doit en effet être la méthode la plus directe...
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Djmaxgamer
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par Djmaxgamer » 23 Juin 2013, 20:59
Eurekha a écrit:Salut,
J'ai trouvé une méthode assez simple, enfin de mon point du vue, tout dépend de ce que tu appelle simple ^^ la voici :
En regardant les premières valeurs de la suite
, on s'aperçoit que
, ce qu'on démontre par récurrence :
cas
: trivial
cas
:
(d'après l'hypothèse de récurrence)
(d'après la définition de la suite
)
ce qui démontre la proposition.
Étant donné que la suite
est strictement croissante (car
) :
d'où :
!
Eurekha
Précision a apporter quand même :
Il faut montrer que
ne converge pas. Si
converge vers
,
qui n'a aucune raison d'être égal à 1.
Tu peux montrer que
et la il n'y a plus de problèmes.
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Archytas
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par Archytas » 23 Juin 2013, 23:51
Justement u tend vers l'infini... ça se montre sans peine.
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