Intersection de 2 droites dans le plan

[Xyz64]

Bonjour,

Je me casse les dents sur une question qui me semblait simple mais qui s'avère coriace. :mur: Mais peut être que je m'y prends mal.

On se donne 4 points par leurs affixes A(a) B(b) C(c) et D(d). On suppose que (AB) et (CD) sont sécantes. Quel est l'affixe du point d'intersection?

Faute de mieux j'ai raisonné sur les coordonnées mais je trouve des formules monstrueuses :marteau: et je suis incapable de revenir aux nombres complexes de manière utile.

Quelqu'un aurait il une piste?
Merci d'avance.

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour,

Je me casse les dents sur une question qui me semblait simple mais qui s'avère coriace. :mur: Mais peut être que je m'y prends mal.

On se donne 4 points par leurs affixes A(a) B(b) C(c) et D(d). On suppose que (AB) et (CD) sont sécantes. Quel est l'affixe du point d'intersection?

Faute de mieux j'ai raisonné sur les coordonnées mais je trouve des formules monstrueuses :marteau: et je suis incapable de revenir aux nombres complexes de manière utile.

Quelqu'un aurait il une piste?
Merci d'avance.

Salut,

Soit a=e+if
b=j+ik
c=l+im
d=n+io

Alors (AB) dirigée par (j-e,k-f), (CD) dirigée par (n-l,o-m)
Une équation de droite pour (AB) est donc (k-f)x/(j-e)+b=y et pour (CD) : (o-m)x/(n-l)+b'=y
Comme (AB) passe par A, que (CD) passe par C, on a :
b=f-(k-f)e/(j-e) et b'=m-(o-m)l/(n-l)
Alors notre système se résume à :

(k-f)/(j-e)*(x-e) + f = y
(o-m)/(n-l)*(x-l) + m = y

Il s'agit d'un système de Cramer que l'on résout comme on peut.

[Xyz64]

Salut,

Soit a=e+if
b=j+ik
c=l+im
d=n+io

Alors (AB) dirigée par (j-e,k-f), (CD) dirigée par (n-l,o-m)
Une équation de droite pour (AB) est donc (k-f)x/(j-e)+b=y et pour (CD) : (o-m)x/(n-l)+b'=y
Comme (AB) passe par A, que (CD) passe par C, on a :
b=f-(k-f)e/(j-e) et b'=m-(o-m)l/(n-l)
Alors notre système se résume à :

(k-f)/(j-e)*(x-e) + f = y
(o-m)/(n-l)*(x-l) + m = y

Il s'agit d'un système de Cramer que l'on résout comme on peut.

Merci pour ta réponse. C'est ce que j'ai fait en effet. Le problème est que les formules contiennent les parties réelles et imaginaires des affixes. C'est ce que je voulais éviter. je cherche une formule faisant intervenir seulement des opérations dans C. Mais je commence à douter que ce soit vraiment possible...

[Dlzlogic]

Bonjour Kikoo,
Excuse ma question idiote, mais que viennent faire les complexes dans ce problème d'intersection ?
Par ailleurs, il se trouve qu'en calcul informatique, c'est l'une des opérations les plus difficile pour la raison suivante : quelle soit la façon dont on organise les calculs, on a forcément une division. Hors-mis le fait que le diviseur ne doit pas être nul, il est nécessaire qu'il soit le plus grand possible. Donc, il faut choisir la façon de mener les calculs pour que cette condition soit remplie.
Je me demandais si l'utilisation du plan complexe pouvait résoudre ce problème, ou alors je suis complètement hors sujet.
Il y un autre point que l'on pourrait évoquer : que veut dire "on suppose que (AB) et (CD) sont sécants" ? Cela veut-il dire qu'il ne sont pas parallèles, ou cela veut dire que leur intersection appartient aux deux segments ?

[Kikoo <3 Bieber]

Je suis en train de regarder le problème d'un autre angle : Il faut regarder l'argument...

[Xyz64]

Bonjour Kikoo,
Excuse ma question idiote, mais que viennent faire les complexes dans ce problème d'intersection ?
Par ailleurs, il se trouve qu'en calcul informatique, c'est l'une des opérations les plus difficile pour la raison suivante : quelle soit la façon dont on organise les calculs, on a forcément une division. Hors-mis le fait que le diviseur ne doit pas être nul, il est nécessaire qu'il soit le plus grand possible. Donc, il faut choisir la façon de mener les calculs pour que cette condition soit remplie.
Je me demandais si l'utilisation du plan complexe pouvait résoudre ce problème, ou alors je suis complètement hors sujet.
Il y un autre point que l'on pourrait évoquer : que veut dire "on suppose que (AB) et (CD) sont sécants" ? Cela veut-il dire qu'il ne sont pas parallèles, ou cela veut dire que leur intersection appartient aux deux segments ?

Merci pour ta participation au débat.

1) Il me semble naturel de chercher à définir un point de la façon la plus compacte possible, d'où l'envie d'obtenir une formule à l'aide des affixes.
2) Je cherche à appliquer ce résultat à 4 points sur le cercle unité. Définir chacun de ces 4 points à l'aide d'une exponentielle complexe m'est venu à l'idée naturellement. D'où mon insistance à vouloir un résultat "compact" à l'aide des nombres complexes.
3) (AB) et (CD) sont des droites. Peu m'importe où se trouve l'intersection.
4) Il n'est pas question de calcul numérique approché, mais d'une formule algébrique exacte.

[Xyz64]

Je suis en train de regarder le problème d'un autre angle : Il faut regarder l'argument...

Cela me semble un argument de poids. Attention, pas de solution imaginaire ... ni trop complexe!

[Dlzlogic]

4) Il n'est pas question de calcul numérique approché, mais d'une formule algébrique exacte.

Oui, nous sommes d'accord, mais l'intérêt d'une formule algébrique exacte est d'en faire une application numérique qui soit satisfaisante dans tous les cas.

[Dlzlogic]

Je suis en train de regarder le problème d'un autre angle : Il faut regarder l'argument...

A mon avis, t'es bien parti pour résoudre des triangles. C'est effectivement la méthode qu'on utilisait en calcul manuel en particulier avec la table de log, mais elle ne tient plus la route à cause de l'utilisation des lignes trigonométriques.

[Xyz64]

Oui, nous sommes d'accord, mais l'intérêt d'une formule algébrique exacte est d'en faire une application numérique qui soit satisfaisante dans tous les cas.

La formule me sera utile pour une démonstration, pas pour un calcul numérique. Sinon le problème se poserait dans d'autres termes: comment minimiser l'erreur commise? Ce n'est pas du tout mon problème ici. merci tout de même de t'intéresser à la question.

[Xyz64]

J'ai changé de point de vue en me disant que je peux, à une similitude près, supposer que a=0 et b=1
Alors si et alors l'affixe e du point d'intersection est donné par la formule



Comment puis-je faire disparaître les parties imaginaires?

[leon1789]

Dlzlogic, arrête ton flood ! Tu n'as pas écrit une seule ligne qui donne une information en rapport avec le problème de Xyz64 : si tu veux raconter ta vie sur le calcul numérique, les divisions et les tables de log, ouvre une discussion !
...En plus, tu ne connais pas la notation () qui désigne une droite :mur: !

On se donne 4 points par leurs affixes A(a) B(b) C(c) et D(d). On suppose que (AB) et (CD) sont sécantes. Quel est l'affixe du point d'intersection?

Je tente une réponse ... Soit P le point d'intersection, d'affixe z :
P appartient à (AB) donc est un nombre réel,
ce qui se traduit par
D'où , notée (*)

De même P appartient à (CD) donc
D'où , notée (**)

(*) et (**) donne l'équation en z (seulement !)



On obtient


à simplifier ?... :doh:

[Dlzlogic]

Dlzlogic, arrête ton flood ! Tu n'as pas écrit une seule ligne qui donne une information

Quand tu limites une transformation affine à une simple rotation, je n'interviens pas, alors une réciproque me paraitrait normale. Et si tu as bien lu les messages, je répondais à Kikoo.

[Xyz64]

Dlzlogic, arrête ton flood ! Tu n'as pas écrit une seule ligne qui donne une information en rapport avec le problème de Xyz64 : si tu veux raconter ta vie sur le calcul numérique, les divisions et les tables de log, ouvre une discussion !
...En plus, tu ne connais pas la notation () qui désigne une droite :mur: !



Je tente une réponse ... Soit P le point d'intersection, d'affixe z :
P appartient à (AB) donc est un nombre réel,
ce qui se traduit par
D'où , notée (*)

De même P appartient à (CD) donc
D'où , notée (**)

(*) et (**) donne l'équation en z (seulement !)

que je te laisse résoudre :lol3:

On obtient


à simplifier ?... :doh:

Merci!
Je vais voir si la formule finale se simplifie si on suppose que les 4 points sont de module 1.

[leon1789]

Quand tu limites une transformation affine à une simple rotation

tu divagues... arrête donc !

Et si tu as bien lu les messages, je répondais à Kikoo.

Ce n'est vrai qu'en partie... Et je ne crois pas que cela justifie tes propos qui sont clairement hors sujet. Cela donne l'impression que tu veux toujours tirer la discussion sur tes petites affaires...

on va encore me traiter de troll.

[Xyz64]

Finalement j'obtiens (avant similitude inverse)



C'est nettement plus sympa!

[leon1789]

ah ben oui, quand on pose a=0 et b=1, ça simplifie beaucoup le résultat !

[Kikoo <3 Bieber]

S'il-vous-plait Messieurs...
Dlzlogic me parlait, j'ai d'ailleurs oublié de lui répondre. Ne peut-on plus faire d'aparté sur ce forum ?

En ce qui concerne les complexes, ce sont des outils que l'on utilise souvent dans des problèmes de géométrie dans le plan car ils sont un intermédiaire analytique entre calculs et géométrie. Ils se montrent donc dans la plupart des cas plus sympathiques.
La correspondance entre coordonnées, composantes vectorielles et affixes fait qu'il est pertinent d'utiliser les nombres complexes ici, car c'est de toute façon ce que souhaite l'auteur du sujet. On aurait autrement très bien pu obtenir les coordonnées du point d'intersection en jouant sur les composantes des vecteurs directeurs des droites qui interviennent dans le problème.
Pour ce qui est des rotations, je ne vois pas ce qu'elles viennent faire dans notre étude.

[leon1789]

Pour ce qui est des rotations, je ne vois pas ce qu'elles viennent faire dans notre étude.

moi non plus je ne vois pas ce qu'elles viennent faire ici, tout comme les tables de log et les lignes trigonométriques, la "résolution des triangles", de "l'intérêt d'une formule algébrique exacte" & "calcul numérique", ou calcul informatique, etc.

[Xyz64]

ah ben oui, quand on pose a=0 et b=1, ça simplifie beaucoup le résultat !

Ce n'était pas dans le but de critiquer ta formule. J'aurais du penser à poser a=0 et b=1 dès le début car cela permet de trouver une formule compacte rapidement, puis on revient au cas général par la similitude:
z --> (b-a) z + a

Merci de ton aide