Calcul matriciel

[baba11]

Bonjour, je bloque sur un exercice


On considére la matrice A =

2 1 4
0 1 0
1 1 2

a) calculer le polynome caractéristique de A et vérifier qu'il s'écrit Pa(x) = x^3-5x²+4x

ca j'ai reussi

b) Trouver les valeurs propres de A

j'ai trouvé aussi 0,1 et 4

c)On rappelle qu'on a alors A^7= aA²+bA+yI. Ecrire la matrice A^7

c'est à cette question que je bloque merci

[ampholyte]

Bonjour,

Tu sais que A;) = aA² + bA + yI. Donc si tu calcules aA² + bA + yI alors tu pourras écrire A;) (en fonction de a, b et y), sachant que tu connais A.

[jlb]

b) Trouver les valeurs propres de A

j'ai trouvé aussi 0,1 et 4

c)On rappelle qu'on a alors A^7= aA²+bA+yI. Ecrire la matrice A^7

c'est à cette question que je bloque

Salut, en fait tu dois utiliser les valeurs propres, je te montre pour 0 et tu continueras seul ( il te restera un petit système à résoudre et quand tu connaitras a, b et y, le calcul de A^7 est aisé !!)
Allez zou, c'est parti: soit vo le vecteur propre associé à la valeur propre 0, on applique la relation à vo, cela donne: A^7(vo) = aA²(vo)+bA(vo)+yI(vo) d'où par propriété vp et vectp

0=0+0+yvo d'où y=0 car vo non nul. A toi de jouer, maintenant. Bon courage [ pour 1 tu dois obtenir v1=av1+bv1-yv1 soit a+b-1=0]

[baba11]

Merci, mais je trouve pas comme toi :(

y=0

a+b = 1 parcontre

et 16a-4b= 16384


:hein:

[jlb]

Merci, mais je trouve pas comme toi

y=0

a+b = 1 parcontre

et 16a-4b= 16384


:hein:

oui,oui, j'avais en tête que y=1, je ne sais pas pourquoi!! donc c'est bon, tu as compris!!! [16a + 4b=16384, match nul pour boulette!!!]

[baba11]

Ah oui j'ai mal recopié ^^vEt donc du coup il reste quelque chose à faire avec ces 3 valeurs?

[ampholyte]

Il te suffit de resoudre le système pour trouver a, b (et y = 0).

Ensuite il te suffira de calculer aA² + bA (en remplaçant a et b par ce que tu auras trouvé comme solution) pour trouver la valeur de A;).

[baba11]

Il te suffit de resoudre le système pour trouver a, b (et y = 0).

Ensuite il te suffira de calculer aA² + bA (en remplaçant a et b par ce que tu auras trouvé comme solution) pour trouver la valeur de A;).

Je peux résoudre le systeme sous forme décimale ?

[ampholyte]

Hum, ce serait plus plus propre et plus juste de laisser sous forme d'une fraction.

Au pire tu peux parfaitement laisse le résultat sous la forme A;) = kB (B étant la somme de aA² + bA) avec k la fraction qui te gène (par exemple 1/3)

[baba11]

car la j'ai fais pour trouver b

a= 1-b

16(1-b)+4b = 16384
16-20b=16384
-20b=16368

b= 16368-20 = 818,4

donc a= 1+ 818,4



c'est faux?

[ampholyte]

Attention aux erreurs de signe

a = 1 - b

16(1 - b) + 4b = 16384

16 - 16b + 4b = 16384
-12b = 16384 - 16
b = -16368/12

b = -1364

[baba11]

Attention aux erreurs de signe

a = 1 - b

16(1 - b) + 4b = 16384

16 - 16b + 4b = 16384
-12b = 16384 - 16
b = -16368/12

b = -1364

Exactement merci j'ai vu pourquoi j'avais mis -4b j'ai fais une erreur ....

donc a = 1 -1364 donc -1363


A^7 = -1364A² - 1363A

c'est juste? :hein:

[ampholyte]

Attention de nouveau erreur de signe =) !

a = 1 - b donc si b = -1364 alors a = 1 + 1364 = 1365

[baba11]

Attention de nouveau erreur de signe =) !

a = 1 - b donc si b = -1364 alors a = 1 + 1364 = 1365

Ah oui merci et une fois que j'ai trouvé ca je dois faire quel calcule pour construire ma matrice A^7?

[ampholyte]

Tu connais A, il te reste donc :

- à calculer A²
- à calculer la différence : 1635A² - 1634A => le résultat te donnera A;)

[baba11]

Tu connais A, il te reste donc :

- à calculer A²
- à calculer la différence : 1635A² - 1634A => le résultat te donnera A;)

Je dois faire A^2 =

8 7 16
0 1 0
4 4 8

Donc 1635 x 8 7 16
0 1 0
4 4 8

1634 x 2 1 4
0 1 0
1 1 2



et ensuite je dois soustraire les deux matrices? :hein:

[ampholyte]

C'est ça =).

[baba11]

je trouve

13080 11445 26160
0 1635 0
6540 6540 13080

-


3268 1634 6536
0 1634 0
1634 1634 3268


A^7 =

9812 9811 19624

0 1 0

4906 4906 9812


sauf que quand je verifie à la calculatrice je trouve pas le meme resultat :( :hein:

On me demande ensuite combien y'a t'il de chemin de longueur 7 allant du sommet 1 au sommet 2 je pensais à 9811 .

[ampholyte]

Qu'obtiens-tu à la calculatrice ?

[baba11]

Ceci :

8192 8191 16384

0 1 0

4096 4096 8192


je comprend pas ou est mon erreur... :hein:

Il doit y avoir une erreur dans l'equation ?