Point sur la loi normal [µ;sigma]

[Maxime-59]

Bonjour,

A quelques jours du bac, j'aimerai que vous m'aidiez à faire le point sur les différentes formules pour calculer des probabilités avec la loi normal de paramètre
On va désigner ici par "x" la probabilité à calculer

Comment calculer ?
Comment calculer ?
Comment calculer ?

J'ai un peu de mal avec toutes les formules de calcul de proba (loi normale, loi expo ...)
Merci de vos réponses !

[Polytop]

D'abord une chose à mettre au point. La loi normale est une loi de probabilité diffuse. Ce qui veut dire, par définition, que les singletons sont de probabilité nulle. Donc, dans les inégalités que vous écrivez, on peut remplacer les inégalités au sens large par des inégalités au sens strict, et inversement.

[Maxime-59]

Oui oui ça j'en suis conscient !

[Polytop]

« On va désigner ici par "x" la probabilité à calculer »
Non : X est la variable aléatoire dont on cherche à calculer la probabilité d'appartenance à un intervalle.

[Polytop]

En fait on ne calcule rien : on se rapporte à une table où les résultats sont donnés, mais seulement pour la loi normale centrée réduite, c'est-à-dire μ = 0 et σ = 1.

[Maxime-59]

Par exemple, je sais calculer dans une lois normale de paramètre et
Comment fait-on pour calculer les 2 autres probabilités que j'ai énoncé au dessus ?

[Polytop]

On remarque seulement que les formules qui permettent de passer de N(mu,sigma) à N(0,1) et inversement sont des fonctions affines de pente > 0, à savoir
X -----> (x-mu)/sigma
et
X -----> (sigma)X + mu dans l'autre sens.
Or, l'image d'un intervalle par une telle fonction f est un intervalle "du même genre"
f([a,b]) = [f(a),f(b)]
f(]a,b]) = ]f(a),f(b)]
f([a,b[) = [f(a),f(b)[
f([a,infini[) = [f(a),infini[
f(]infini,b[) = ]infini,f(b)[, etc.

Donc si X* = (X-mu)/sigma est la loi normale centrée réduite,
P(X>a) <=> P((X-mu)/sigma) > (a-mu)/sigma)) qui est dans la table; pour des intervalle de a à b on joue avec la parité de la densité.

[Polytop]

760 (760-800)/40 < X* < (840-800)/40 <=> -1 < X* < 1
La table donne la valeur de 0 à 1
et la valeur de -1 à 0 qui est la même que de 0 à 1 (parité)
le résultat est la somme des 2

[Polytop]

La probabilité de ]-infini, 0] est 1/2
Donc si a>0 la probabilité de ]-infini,a] est 1/2 + probabilité de [0,a]

[Maxime-59]

Merci ! :)

[Sylviel]

La première chose à comprendre c'est que tu dispose d'une table qui te donne P(G
Donc dans ton exemple si tu veux cacluler P(Xet donc
P(Xet après il faut regarder la table...

Pour P(X>b) c'est un tout petit peu plus compliqué : il faut commencer par se ramener à un truc de la forme (proba inférieur à tel nombre).

Donc P(X>b) = 1-P(X
Finalement pour P(aP(aet tu appliques ce que j'ai dis précédemment.

Est-ce plus clair ?

[Maxime-59]

C'est parfait, merci à vous deux ! :)

[Maxime-59]

Il y a quelque chose que je ne comprends pas très bien

Dans la partie D de l'exercice 1, pourquoi P(D<880)=0.5+P(800 D 880) ? Je ne comprends pas d'ou viennent 800 et 880.

Voici l'énoncé

http://www.ti-bank.fr/modules/archives/downloads/Maths_TS_CE_2013.pdf

et un corrigé : http://www.cours-sowan.fr/wp-content/uploads/2013/06/TS-centres-%C3%A9trangers-juin-2013-maths-corrig%C3%A9.pdf

[XENSECP]

Parce que le centre de ta gaussienne est 800, ce qui se traduit aussi par :

où f est ta gaussienne classique mais avec mu et sigma comme espérance et écart-type.

[Maxime-59]

Euh.. Je ne suis pas sur d'avoir compris la :/

[Maxime-59]

J'ai vu dans mon livre que pour calculer je peux utiliser ma calculatrice et faire comme si je calculais . Cette méthode me donne la bonne réponse. Cependant, est-elle valable dans une copie au Bac ?

[Polytop]

la probabilité de -infini à mu et la probabilité de mu à +infini valent 1/2 dans tous les cas.
(c'est la moitié de la cloche)
Donc, par exemple, la probabilité de -infini à a est égale à 1/2 + P(mumu et 1/2 - P(aCe que je vous invite à faire plutôt après le passage à la loi centrée réduite où mu=0.

[Polytop]

Tout cela est très simple si l'on a en tête que la probabilité d'un intervalle c'est la surface sous la cloche au-dessus de cet intervalle. Aie-le à l'esprit, et découpe tes intervalles en intervalles dont tu sais calculer, grâce à la table, la probabilité.

[Maxime-59]

D'accord, merci :)

[mathelot]

l'aire du domaine plan situé entre la courbe de la fonction de densité et l'axe x'ox