Calcul Integral

[ika-ika]

[FONT=Arial Black]Bonjour,

est ce qu'il ya quelqu'un qui pourra corriger mes exos s'ils vous plait ?

pour le premier: on a la fonction f(x,y)=xy×sin;)(1/;)(x²+y²)

pour le domaine de définition j'ai mis R²-{0,0}
pour le prolongement de continuité j'ai fais : x=rcosa et y=rsina et j'ai fais la limite quand r tombe vers 0 et je trouve 0 et donc on a f admet un prolongement par continuité en (0,0)

ensuite c'est la ou je bloque un peu! ils demandent de calculer les dérivées partielles et et après il demandes si elle est de classe C1 sauf que je ne sais pas si je dois calculer la limite de chaque dérivée quand x et y tembe vers 0 et montrer qu'elle sont égales?

et en fin ils demandent d'étudier la différentiabilité en (0,0) (je pense que si on montre qu'elle est c1 donc on peut dire qu'elle est différentiable! et on a pas besoin de montrer qu'elle admet un DL d'ordre 1?)

merci bien d'avance.[/FONT]

[XENSECP]

Pour plus de clarté :



Tu as trouvé les dérivées partielles déjà ?

[ika-ika]

merci d'avoir répondu :)

oui et j'avais trouvé: la dérivée par rapport a x :

ysin(1/;)(x²+y² ))+ x²y/;)(x²+y²) cos;)(1/;)(x²+y²))

et par rapport a y je trouve:

xsin(1/;)(x²+y² ))+ xy²/;)(x²+y²) cos;)(1/;)(x²+y² ))

[XENSECP]

Et tu n'arrives pas à trouver la continuité de ces dérivées de la même façon que pour la fonction en (0,0) ?

[ika-ika]

j'ai essayé de calculer la la limite de chaque dérivée partielle en (x,y)-->(0,0) mais je trouve une forme indéfinie.

[ika-ika]

en fait pour calculer les dérivées partielles en 0 je suis passer par les polaires et après j'ai utilisé le DL du cos et du sin et du coup je trouve que la limite de la dérivée par rapport a x égale a sina et par rapport a y je trouve cosa ! ce la veux dire qu'elle n'est pas C1? et donc on ne peux pas étudier la différentiabilité?

[deltab]

Bonjour.

Les différentes limites à calculer se présentent sous la somme de produits de 2 termes dont l'un est borné (sinus et cosinus). La limite d'un produit de 2 termes dont l'un est borné et l'autre tend vers 0 est alors égale à zéro. Ainsi:



Vous avez alors prolongé par continuité en en posant

Les deux dérivées partielles que vous avez calculées sont valables dans .





Vous n'avez pas encore calculé les 2 dérivées en .

Même si vous avez pu calculer les limites des 2 dérivées partielles en (0,0), ( j'espère que vous pouvez le faire maitenant) vous aurez conclu à l'existence des limites des 2 dérivées partielles et leur continuité, vous ne savez pas pour le moment si f admet ou non des dérivées partielles en (0,0).