Tous les rationnels de ]0;1] ?

[Imod]

Un petit défi que j'ai déjà proposé aux mathématiques.net

On note I l'ensemble des inverses des entiers naturels ( non nuls ) . On considère un ensemble P de réels contenant I et la moyenne de tout élément de P avec tout élément de I .

Question : P contient-il nécessairement tous les rationnels de ]0;1] ?

Amusez-vous bien :zen:

Imod

PS : Je n'ai pas la réponse :hein2:

[Luc]

Hello,

je pense que P contient tous les dyadiques, non?

[DamX]

Hello,

J'y vais de ma petite conjecture :
P ne contient pas tous les rationnels (par ex je ne vois pas comment 3/7 pourrait être obtenu avec la définition de P)

Damien

[jlb]

Salut,



bon, si pas d'erreur de ma part, ce sera ma seule contribution!!!

[DamX]

Salut,



bon, si pas d'erreur de ma part!!!

Ah ouais bon ben je me tais

[Kikoo <3 Bieber]

Salut Imod !

Un petit défi que j'ai déjà proposé aux mathématiques.net

On note I l'ensemble des inverses des entiers naturels ( non nuls ) . On considère un ensemble P de réels contenant I et la moyenne de tout élément de P avec tout élément de I .

Question : P contient-il nécessairement tous les rationnels de ]0;1] ?

Amusez-vous bien :zen:

Imod

PS : Je n'ai pas la réponse :hein2:

Quel type de moyenne ? #Question-conne #pas-la-réponse #swag

[Imod]

Quand on ne précise pas c'est qu'on considère la moyenne usuelle ( arithmétique ) , c'est un peu la norme en maths , sinon c'est sans fin :zen:

A part ça on aurait trouvé la solution sur les Maths.net je n'ai pas encore eu le temps de tout lire , avis aux amateurs .

Imod

[nodjim]

On peut facilement fabriquer toutes les valeurs comprises entre 1/n et n/n simplement avec comme fractions de départ 1/n, 1 et éventuellement 1/2n.

[Imod]

{1/n}U{1/2n} c'est un peu {1/n} :marteau:

Ce n'est pas si simple :zen:

Imod

[Luc]

Hello,

j'ai réussi à montrer que contenait tous les dyadiques.
Plus précisément, on montrer la propriété P(n) par récurrence :

Pour tout entier , l'entier est dans

(pour l'hérédité, distinguer le cas pour lequel on fait la moyenne avec , et pour lequel on fait la moyenne avec 1)

[nodjim]

Un bon exemple valant mieux qu'un long discours...
Prenons le cas de 19. D'entrée, on a comme fraction disponible: 0.5 (1/38), 1 (1/19) et 19 (19/19=1/1)
0.5;1;19;
1 et 19 donne directement 10
0.5;1;10;19;
1 et 10--->5.5
0.5;1;5.5;10;19
0.5 et 5.5--->3
0.5;1;3;5.5;10;19
2 et 4 tombent alors, et je n'ai plus besoin des 0.5
1;2;3;4;10;19
(4,10)-->7 et (3,7)-->5
1;2;3;4;5;7;10;19
6 tombe
1;2;3;4;5;6;7;10;19
(7,19)-->13 et (13;19)-->11
1;2;3;4;5;6;7;10;11;13;19
(11,19) et (13,19) --->15 et 16
1;2;3;4;5;6;7;10;11;13;15;16;19
Pratiquement c'est fini: 9,12,14,17,18 tombent.

L'étape critique est le début, la descente des 0.5.
Ici, on a eu de la chance avec 0.5+5.5 qui donne un entier.
On aurait pu avoir 0.5+4.5 qui donne 2.5, et donc 0.5+2.5 qui donne 1.5.
Mais ce 1.5, dans le cas le pire, on tombe dessus de toute façon.
et 1.5 associé avec 4.5 donne cette fois un entier: 3, qui donnera à son tour 2.

[Doraki]

Un cas particulier n'est pas une preuve du cas général.

[nodjim]

Certes, mais la technique est reproduisible pour tout n. Comme je l'ai écrit, c'est le début qui est délicat. la stratégie consiste à chercher d'abord les petits entiers, ensuite ça déroule: quand on a trouvé un entier, il est pair ou impair, et donc encadré soit par 2 pairs (alors on repart avec les 0.5) soit un pair et un impair (alors on crée un autre entier) soit par 2 impairs (on a crée alors 2 nouveaux entiers).

[nodjim]

Pour être plus général:
On calcule la moyenne entre le plus petit entier >1 ou le plus entier et demi>0.5 connu d'une part, 1 ou 0.5 respectivement d'autre part. On arrivera forcément à 2.
Ensuite, on peut abandonner les demis: on calcule la moyenne entre le plus petit pair ou impair >2 connu avec respectivement 2 ou 1.
Et plus généralement, on calcule la moyenne entre les pairs et impairs les plus grands mais dont tous les entiers inférieurs sont déja connus, et respectivement les pairs ou impairs les plus petits suivants, juste au dessus des entiers non encore trouvés.