Pi/2=1

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
jlb
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par jlb » 09 Juin 2013, 18:51

leon1789 a écrit:Une fonction f est continue par morceaux sur le segment s’il existe une subdivision telle que la restriction de f à chaque intervalle ouvert soit dérivable.


Ah, ok. Dans ma version, il y a des conditions pour les dérivées à droite et à gauche en les points de la subdivision.



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leon1789
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par leon1789 » 09 Juin 2013, 18:53

fma a écrit:La somme des demi-cercles tend vers l'infini quand les rayons tendent vers 0. Cela ne pose pas problème ?

Dès que l'on parle de l'infini, tout pose problème a priori, donc il faut se méfier, c'est vrai.

Tu veux dire que le comportement d'une somme qui contient de plus en plus de termes (car il y a de plus en plus de demi-cercles) ne va pas de soi et qu'il faut analyser ce point. Oui, c'est exact, il faut justifier que cette somme qui contient de plus en plus de termes converge bien quand le rayon des cercles tend vers 0.

Mais cela est évident puisque la somme est constante (à pi/2), quel que soit le nombre de termes.

Le problème ne vient pas de l'existence de limite, mais d'un échange entre limite et longueur :
"limite de la longueur de chaque graphe" (=pi/2) versus "longueur du graphe de la fonction limite" (=1) :!:

jlb
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par jlb » 09 Juin 2013, 19:02

la méthode d'Archimède pour approximer pi repose du coup sur le même principe, cela ne semble poser de problème à personne dans aucune démonstration,non? après je m'égare peut-être?

ffpower
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par ffpower » 09 Juin 2013, 19:25

Tu as raison, si on veut justifier rigoureusement la méthode d'Archimede ya des trucs à justifier. Moralement ça marche ici du fait qu'on ne fait pas de "zig-zags"..Après je suis pas sûr qu'ils se soient poser ce genre de question existentielle à l'époque :)

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leon1789
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par leon1789 » 09 Juin 2013, 19:44

jlb a écrit:la méthode d'Archimède pour approximer pi repose du coup sur le même principe, cela ne semble poser de problème à personne dans aucune démonstration,non? après je m'égare peut-être?

Justement, dans la méthode d'Archimède, les dérivées se comportent bien, contrairement au problème des demi-cercles : dans les demi-cercles, on voit que les dérivées alternent, localement, entre - infini et + infini ; dans la méthode d'Archimède, si on regarde dans le quart supérieur gauche du cercle, les dérivées sont bornées et convergent uniformément (hum, il faut prendre quelques précautions), et c'est surement cela qui permet de prouver la correction de la méthode. Il peut y a voir d'autres preuves évidemment.

Avez-vous un lien sur une preuve complète de cette méthode ?

Luc
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par Luc » 09 Juin 2013, 20:01

leon1789 a écrit:Justement, dans la méthode d'Archimède, les dérivées se comportent bien, contrairement au problème des demi-cercles : dans les demi-cercles, on voit que les "dérivées" alternent, localement, entre - infini et + infini ; dans la méthode d'Archimède, les dérivées convergent uniformément (quand on retire un nombre dénombrable de points), et c'est surement cela qui permet de prouver la correction de la méthode.

La méthode d'Archimède fonctionne, ce n'est pas un hasard, et cela se prouve en effet. Avez-vous un lien sur une preuve complète de cette méthode ?


Archimède construit deux suites et , où est égal au demi périmètre du polygone régulier à 3*2^n sommets inscrit dans un cercle de rayon 1, et est égal au demi périmètre du polygone régulier à 3*2^n sommets circonscrit à ce même cercle.

- On explicite et avec sinus et tangente.
- L'inégalité sin(x)<x<tan(x), valable pour 0<x<pi/2, entraine que
- Un développement limité au premier ordre montre que tend vers pi.
(en fait en poussant le DL à l'ordre supérieur, on peut montrer que donne une meilleure approximation de pi, en O((1/4)^n) au lieu de O((1/2)^n)
- Il existe un algorithme astucieux pour calculer et en utilisant seulement +,-,*,/ et l'extraction de racine carrée.

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leon1789
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par leon1789 » 09 Juin 2013, 20:13

leon1789 a écrit: Il peut y a voir d'autres preuves évidemment.


Luc a écrit:- Un développement limité au premier ordre montre que tend vers pi.
(en fait en poussant le DL à l'ordre supérieur, on peut montrer que donne une meilleure approximation de pi, en O((1/4)^n) au lieu de O((1/2)^n)


CQFD. :lol3:

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leon1789
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par leon1789 » 09 Juin 2013, 20:27

Luc a écrit:- Un développement limité au premier ordre montre que tend vers pi.
(en fait en poussant le DL à l'ordre supérieur, on peut montrer que donne une meilleure approximation de pi, en O((1/4)^n) au lieu de O((1/2)^n)

j'aurais dit : convergence de , de et de en O(1/4^n)
et convergence de en O(1/16^n) . A voir...

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