leon1789 a écrit:Justement, dans la méthode d'Archimède, les dérivées se comportent bien, contrairement au problème des demi-cercles : dans les demi-cercles, on voit que les "dérivées" alternent, localement, entre - infini et + infini ; dans la méthode d'Archimède, les dérivées convergent uniformément (quand on retire un nombre dénombrable de points), et c'est surement cela qui permet de prouver la correction de la méthode.
La méthode d'Archimède fonctionne, ce n'est pas un hasard, et cela se prouve en effet. Avez-vous un lien sur une preuve complète de cette méthode ?
Archimède construit deux suites
et
, où
est égal au demi périmètre du polygone régulier à 3*2^n sommets inscrit dans un cercle de rayon 1, et
est égal au demi périmètre du polygone régulier à 3*2^n sommets circonscrit à ce même cercle.
- On explicite
et
avec sinus et tangente.
- L'inégalité sin(x)<x<tan(x), valable pour 0<x<pi/2, entraine que
- Un développement limité au premier ordre montre que
tend vers pi.
(en fait en poussant le DL à l'ordre supérieur, on peut montrer que
donne une meilleure approximation de pi, en O((1/4)^n) au lieu de O((1/2)^n)
- Il existe un algorithme astucieux pour calculer
et
en utilisant seulement +,-,*,/ et l'extraction de racine carrée.