Distance entre deux droites de l'espace.

[Kael8]

Bonjour, j'ai comme énoncé:

On dé;)nit les droites
d :

x - y - z - 2 = 0
et x - 2y - 3z + 1 = 0

d'

x + y + 2z - 1 = 0
et 2x + y + z + 2 = 0:

Calculer la distance entre d et d'


J'ai obtenu racine de 30 comme résultat mais je n'ai aucun moyen de le vérifier... Quelqu'un peut-il m'aider parce que je ne suis pas sur de moi.

[Ericovitchi]

non, moi j'ai trouvé autour de 1.1 (en rentrant simplement les droites dans geogebra 3D et en demandant la distance entre les deux droites).
tu as choisis quelle méthode pour trouver ça ? (il y a 3 façons de faire : lien )

[Kael8]

Voilà comment j'ai procédé:

D’abord, exprimer les droites sous forme paramétrique:
d a pour équation
x = 5 - alpha
y = 3 - 2 alpha (le vecteur directeur est donc (-1;-2;1) (c’est surtout ça qu’il faut vérifier)
z = alpha

d’ a pour équation
x = teta
y= teta + 3 (le vecteur directeur est donc (1; 1; -3))
z= -5 -3teta

Nommons I un point quelconque de d et I” un point de d’

I a pour coordonnées (5-a ; 3-2a; a) et I’ a pour coordonnée (b ; b+3 ; -3b - 5)

Recherchons l’équation de la droite f, perpendiculaire à la fois à d et à d’. Ca veut dire que le vecteur directeur de f est à la fois perpendiculaire à celui de d, et à la fois perpendiculaire à celui de d’. ce qui veut dire que les produits vectoriels respectifs sont nuls!

Ainsi I et I’ appartiennent à f ;) II’ . (-1,-2,1) = 0 et II’ . (1, 1, -3) = 0.

On a alors un système et on trouve que a = 2 et b = -2, I a donc pour coordonnée (3;-1;2) et I’ (-2;1;1)

Reste plus qu’à calculer la droite passant par I et I’.

et la distance est donnée par dist(I, I’).

[chan79]

J'ai fait à peu près comme ça. On arrive à

[Ericovitchi]

les équations paramétriques de la première sont justes mais pas celles de la seconde.
(elles ne vérifient pas x+y+2z-1=0)

Après, tu veux dire "les produits scalaires nuls" (et pas vectoriels) je suppose ?

C'est x=theta
y=-5-3theta
z=theta +3
tu as intervertis y et z en fait.

[Kael8]

Ok, no worry! J'ai trouvé mon erreur! :D Merci beaucoup!