0.999999999 = 1

[depardieu]

Bonjour,

Depuis toujours j'ai du mal à "accepter" le fait que l'on considère que:


0.999999999999999 = 1

car si cela est vrai alors 1 = 0.9999999999999 = 0.9999999999998 = 0.99999999999999997 = 0.99999999996

etc jusqu'à l'affirmation abérante 1 = 0

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour,

Depuis toujours j'ai du mal à "accepter" le fait que l'on considère que:


0.999999999999999 = 1

Parce que c'est faux !
Par contre, tu devras être d'accord sur le fait que 0,999999...=1 (attention, en numérotation française on utilise des virgules et non des points !)

[ampholyte]

Bonjour,

Tu peux lire ce wiki très instructif : [url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_décimal_périodique#Le_cas_des_nombres_d.C3.A9cimaux[/url]

[chan79]

Bonjour,

Depuis toujours j'ai du mal à "accepter" le fait que l'on considère que:


0.999999999999999 = 1

Essaie de trouver un nombre qui serait entre les deux

[beagle]

oui mais le message de départ est intéressant,
si on met un 8 à la fin de l'infinité de 9, alors c'est égal,
sauf que la fin de l'infini répétition de 9 hum, hum,...

[depardieu]

Merci pour vos réponses.

Je pense que pour comprendre cette affirmation il faut bien distinguer 0.9999999 (avec une infinité de 9) et 0.999999999 (avec des centaines de milliers de 9) qui sont complètement différents.


On en revient au problème d'infini assez difficile à imager pour certains :- )

[Dlzlogic]

Le monde est fini.
L'infini ne peut exister que comme outil théorique.
L'affirmation 0.999999999 = 1 est fausse, mais c'est une écriture pratique.
Si vous faites un peu d'informatique, vous pourrez constater qui choses qui peuvent paraitre bizarres à ce propos. Mais on sort un peu du sujet.

[adrien69]

Si l'infini n'existe pas, alors la logique ne te permet pas de dire que si n+1=m+1 alors n=m. cf Russel.

[Dlzlogic]

@ Adrien
Là j'ai un peu de mal à comprendre.
1- le monde, c'est à dire le réel, est fini. VRAI ou FAUX.
2- l'addition l'égalité sont des outils mathématiques qui donc nécessitent une définition, ou au contraire, cela correspond à une réalité OUI ou NON
3- rien n'interdit de définir une notion théorique d'infini, et avec relation d'ordre, et tout ce qu'on veut, mais il ne faudra pas oublier de rappeler qui ce sont des nitions théoriques sans relation avec le monde réel OUI ou NON
4- C'est pas la logique qui me permet de dire que ... n=m, ce sont les définition des outils mathématiques qui j'emploie.

[Sylviel]

1) il faut qu'on me définisse ce que tu entends par le réel est fini ? Cette question est a priori impossible à répondre. Exemple : existe-t-il une distance aussi petite qu'on le souhaite ? C'est une question de physique compliquée et on a seulement (comme c'est toujours le cas en physique) des modèles, donc des représentation mathématique du monde. Pour pouvoir représenter le monde, mener des calculs et donc effectuer des prévisions on a besoin d'une modélisation mathématique de celui-ci, et au sein de cette modélisation mathématique l'infini peut être nécessaire.

2) L'addition et l'égalité sont des outils mathématiques qui nécessitent une définition.

3) Pourquoi diable une notion théorique serait "sans relation avec le monde réel" ? Quoi qu'il arrive pour pouvoir faire une prédiction, une mesure, un calcul quelconque on a besoin d'un modèle mathématique qui est censé représenter le réel. On peut vérifier a posteriori que le modèle et valable, et même définir un domaine de validité de la représentation. Par exemple : pour des distances inférieure à tant, et une précision voulue inférieure à tant, on peut modéliser la surface de la terre comme un plan, ou comme une sphère, ou comme une ellipsoide.

4) Pour passer d'une assertion a une autre tu as dû faire usage de logique.

[adrien69]

1)Tu as une approche trop terre à terre de ce que tu appelles le réel. Quel réel ? L'observable ou ce qui ne l'est pas ? Un objet peut avoir une existence sans que tu puisses l'atteindre. Il existe des personnes que tu n'as jamais vues, ce n'est pas pour autant qu'elles n'existent pas intrinsèquement. Il existe des nombres que tu n'as jamais écrits, peut-être ces personnes l'ont-elles déjà fait. Donc vrai et faux.
2)Quand j'écris "+1" il faut lire "le successeur de", cf les axiomes de Peano. Quand on note le symbole additif, on ne fait que calquer la réalité du langage quotidien : un homme et un autre homme en donnent deux. Etc. Mais ce joli calque ne peut être valable que par l'ajout d'un carcan théorique fait de définitions, donc oui et non.
3)Seule la définition d'une classe d'infinis permet de montrer que l'arithmétique classique est logique en ce sens que si l'on ne la considère pas, il est impossible de prouver que si deux nombres ont même successeurs, alors ils sont égaux. C'est donc une définition théorique nécessaire pour que le réel soit logique. Donc oui et non.
4)C'est bel et bien la logique qui te le permet, par le biais d'une formalisation mathématique de l'intuition dans certains cas mais pas dans tous. Tu sais que m=n si m et n si m et n vérifient une même propriété qui les définissent univoquement. Par exemple : J'ai autant de doigts que d'orteils est une phrase logique, inscrite dans la réalité, et tu en déduis bien, logiquement, que si m est mon nombre d'orteils, n celui de doigts, n=m.

Tu n'as pas besoin d'une théorie de l'infini pour parler de nombres, mais pour qu'elle soit cohérente, si. En bref, si tu acceptes la réalité de la logique humaine, tu acceptes l'infini.

Je viens là de massacrer toute l'oeuvre de Bertrand Russell, prix Nobel de littérature, logicien de génie et philosophe le plus influent (de mon point de vue) du XXe siècle, je t'invite donc à lire son oeuvre principale : Principia Mathematica.

Cet homme est le père de la logique, qu'elle soit mathématique, philosophique ou informatique (ça devrait te parler).

[leon1789]

Si l'infini n'existe pas, alors la logique ne te permet pas de dire que si n+1=m+1 alors n=m. cf Russel.

Pas besoin de l'infini pour "si n+1=m+1 alors n=m" car c'est un axiome de Péano, non ?

Pour ma part, concernant l'infini, je garde en mémoire une phrase de Poincaré :
>

[Dlzlogic]

Je ne veux surtout pas polémiquer, donc je répondrai juste à ceci:

il faut qu'on me définisse ce que tu entends par le réel est fini ?

Je prends l'exemple cité généralement du gâteau qu'on peut partager en une infinité de convives.
A force de divisions par 2 on va forcément arriver à un molécule de gâteau. peut-on dire que cette molécule, CH d'un côté ON de l'autre, sont 2 morceaux de gâteau. pour moi, la réponse est NON.
J'ajouterai un petit commentaire personnel, certaines opérations jugées impossibles ou non définies sont réalisées en permanence par des tas de gens très terre à terre comme moi. Si l’œuvre de B.R. m'empêche de faire des calages de plan, il vaut mieux que je m'abstienne de la lire.

[leon1789]

Je prends l'exemple cité généralement du gâteau qu'on peut partager en une infinité de convives.
A force de divisions par 2 on va forcément arriver à un molécule de gâteau. peut-on dire que cette molécule, CH d'un côté ON de l'autre, sont 2 morceaux de gâteau. pour moi, la réponse est NON.

ok, on ne peut pas partager un gâteau en une infinité de convives (d'ailleurs, je ne vois pas où on trouverait une infinité de convives).
Cet exemple montre qu'il existe de la finitude dans le réel (tout le monde s'en doute, même si on n'a pas de définition pure et dure du réel), mais il ne prouve en rien la non-existence de l'infini...

[beagle]

"Si l’œuvre de B.R. m'empêche de faire des calages de plan, il vaut mieux que je m'abstienne de la lire."
Un bouquin pour caler un plan, c'est toujours utile!

Sinon, j'ai ceci: si les interventions de Dlzlogic sur maths forum ne sont pas finies, sont-elles réelles?
oui ou vrai?

Adrien:"Je viens là de massacrer toute l'oeuvre de Bertrand Russell, prix Nobel de littérature, logicien de génie et philosophe le plus influent (de mon point de vue) du XXe siècle, je t'invite donc à lire son oeuvre principale : Principia Mathematica.

Cet homme est le père de la logique, qu'elle soit mathématique, philosophique ou informatique (ça devrait te parler)."

Si c'est le père de la logique, est-ce le beau-frère de Dlz logique?

PS: perso pour moi le monde est fini, mais cela relève uniquement d'un grand pessimisme!

[leon1789]

pour moi le monde est fini, mais cela relève uniquement d'un grand pessimisme!

Est-ce que l'imagination des êtres humains est finie ?
S'il existe une limite, laquelle ? Sinon elle est infinie...

[adrien69]

Pas besoin de l'infini pour "si n+1=m+1 alors n=m" car c'est un axiome de Péano, non ?

Pour ma part, concernant l'infini, je garde en mémoire une phrase de Poincaré :
>

Si tu veux montrer les axiomes de Peano à partir de la logique, à la sauce Russell, tu en as besoin. Mais c'est 2000 pages de texte brut alors bon...
Rien que montrer 1+2=3 ça lui prend 200 pages je crois.

[beagle]

"n+1=m+1 alors n=m"

j'ignore totalement les degrés d'exigence pour définir tout ceci,
mais si l'on s'en tient à la définition de la cardinalité que l'on apprend en maternelle,
mème cardinalité si bijection, ça c'est ce que l'on enseigne aux tout petits,
ben il me semble que si bijection de n+1 vers m+1, cela doit ètre possible d'enlever 1,
soit c'est le +1 qui va au +1 et alors c'est ok, soit les +1 ne sont pas en relation, alors enlever 1 va laisser une image et un antécendant orphelins qu'il suffit de relier.
Donc pour un enfant de maternelle, si n+1=m+1 alors n=m, à cause de la bijection.
Tout enfant de maternelle te le dira.

Maintenant je sais pas, mais Peano et Russell sont en quelle classe?

[beagle]

je ne sais pas ce que cela vaut:
http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/78/21/61/PDF/SynthA_se.pdf

[leon1789]

Si tu veux montrer les axiomes de Peano à partir de la logique, à la sauce Russell, tu en as besoin. Mais c'est 2000 pages de texte brut alors bon...
Rien que montrer 1+2=3 ça lui prend 200 pages je crois.

Ben l'axiomatique que j'aime utiliser est celle de Péano :
1. L'élément 0 est un entier naturel (existence d'un entier naturel)
2. Tout entier naturel n a un unique successeur n+1
3. Aucun entier naturel n'a pour successeur 0.
4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux (ie. n+1=m+1 implique n=m).
5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à l'ensemble des entiers (principe de récurrence).

C'est la plus naturelle des axiomatiques sur les entiers, non ?