Wanted: ensemble de fonctions...

[Wédé]

Bonjour,

Je soumet à votre sagacité un problème en apparence simple sur lequel je bute, et pour lequel je suis à la recherche de toute piste aidant à sa résolution.

Il s'agit de trouver toutes les fonctions e(t) : qui satisfont à:



avec pour contraintes :




Par exemple, la fonction constante égale à 1 est solution et la classe des sinus exponentiels (i.e. les sinus dont la fréquence varie exponentiellement avec le temps) en est une autre. Mais y'en a t'il d'autres?

Si parmi vous certains ont des idées concernant la méthodologie à adopter pour résoudre ce problème ou un problème proche, elles sont les bienvenues!

Merci à tous de votre aide!

Wédé

[Wédé]

En fait, les sinus exponentiels satisfont à:



Mais ça me va aussi!

Merci encore.

Wédé

[DamX]

En fait, les sinus exponentiels satisfont à:



Mais ça me va aussi!

Merci encore.

Wédé

Bonjour,

Je n'ai regardé rapidement que le cas initial, sans la somme.


Sauf erreur, dans le cas général avec t1,...,tn,... Fixés il n'y a pas de solution. Il est en revanche possible de trouver les (t_i) qui admettent des solutions.

Déjà on peut fixer t1=1 pour la suite, car si x->f(x) est solution du problème pour (t1,...,tn,...), alors x->f(x.t1) est solution du problème (1,t2/t1,...,tn/t1,...).

Partant de là, en considérant uniquement le cas n=2, on peut montrer que g=ln(f) doit être de là forme :


Soit. Mais à partir de là, on peut montrer que si la fonction suit cette relation et est suffisamment régulière, alors les autres tk sont forcement déterminés par

sans quoi il n'y aurait pas de solution.

Avec cette intuition on peut facilement trouver une fonction qui marche pour ces (tk) :


Dans le cas t1 quelconque, les seuls tk possibles sont les tk ci-dessus multipliés par t1 et une fonction qui marche est :


J'ai de plus lintuition que c'est la seule fonction solution, mais je ne lai pas démontré.
Je pourrai si besoin fournir d'éventuelles précisions sur les étapes intermédiaires du raisonnement.
Damien

[Wédé]

Bonjour DamX,

Merci pour le temps que tu as pris pour répondre pour la qualité de ta réponse. Effectivement, j'ai l'impression que c'est bien la seule famille de fonction qui vérifie la propriété énoncée précédemment (voir aussi le lien suivant pour d'autres éléments de réponse).

Et je me demande maintenant si on peut générer une base de fonctions vérifiant la propriété avec la somme à partir des fonctions en double exponentielle....

Merci.

Wédé