Spécialité-Polynésie 2012-arithmétique-corrigé incompris

[constantinowitch]

Bonjour, je crois que tout est dans le titre mais je vais quand même faire une phrase, voilà : je suis en pleine phase de révision pour Bac 2013 et en faisant le sujet tombé l'année dernière en Polynésie, je suis tombé sur cette question :

Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels vérifiant
la relation 25g -108c =1.
On rappelle le petit théorème de Fermat : si p est un nombre premier et a un entier non divisible par
p alors a p-1 est congru à 1 modulo p que l’on note a p-1 º 1 [p].
1) Soit x un entier naturel.
Démontrer que si x º a [7] et x º a [19] alors x º a [133].

Facile vous me direz sûrement. Eh bien pas tant que ça. Je regarde le corrigé et en deux ligne il balance la réponse.

x a [7] donc x – a 0 [7] de même x – a 0 [19] Comme 7 et 19 sont premiers entre eux alors x – a 0 [7 × 19] C’est-à-dire x – a [133]

Et je ne l'a comprend pas. Je ne vois absolument pas sur quelle propriété cela repose. :mur:
Merci de m'éclairer.

[ampholyte]

Bonjour,

Si x est divisible par 7 et x est divisible par 19 alors il est divisible par 7*19.

Prenons un exemple :

266/7 = 38 or 38 est divisible par 19 : 38/19 = 2
266/19 = 14 or 17 est divisible par 7 : 14/7 = 2

On a donc bien 266/(7 * 19) = 266/133 = 2

[Robic]

À condition que 7 et 19 soient premiers entre eux, sinon ça ne marche pas (par exemple 36 est divisible par 4 et 6, mais pas par 24).

Justement, la question de Constantinowitch était de savoir quelle est cette propriété qui prétend que si c est divisible par a et par b, et si a et b sont premiers entre eux, alors c est divisible par ab. Je viens de vérifier dans divers cours de terminale et elle est présentée comme conséquence des théorèmes de Bézout et Gauss. En tout cas c'est une propriété à connaître absolument (quand on fait de l'arithmétique) !

[constantinowitch]

Ah d'accord. Je connais cette propriété mais je ne l'avais pas vu derrière tout ça.
Merci :)

[beagle]

À condition que 7 et 19 soient premiers entre eux, sinon ça ne marche pas (par exemple 36 est divisible par 4 et 6, mais pas par 24).

Justement, la question de Constantinowitch était de savoir quelle est cette propriété qui prétend que si c est divisible par a et par b, et si a et b sont premiers entre eux, alors c est divisible par ab. Je viens de vérifier dans divers cours de terminale et elle est présentée comme conséquence des théorèmes de Bézout et Gauss. En tout cas c'est une propriété à connaître absolument (quand on fait de l'arithmétique) !

ouah Bezout et Gauss qui jouent en double!
c est divisible par a et b,
c est divisible par a, donc c=ka
a et b premiers entre eux donc b doit diviser k,
donc c=k'ba
On doit pouvoir s'en sortir sans bosser, sans trop apprendre je pense!