Exercice d'algèbre linéaire

[Airborne57]

Bonjour à tous,

Soient E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E. Notons Kef(f²) et Ker(f+1) les noyaux respectifs de f² et f+1.

a) Montrer que l'intersection de Ker(f²) et ker(f+1) est égale à {0}.
b)Montrer que f^3+f^2=0 <=> Ker(f²)+Ker(f+1)=E (Suggestion: utiliser l'égalité 1=(1+f)(1-f)+f²).
c)Supposons que E est de dimension finie n.Montrer:

f^3+f^2=0 <=> rg(f²)+rg(f+1)=n <=> rg(f²)+rg(f+1)<=n

Voila l'énoncé d'un exercice d'algèbre que j'ai à faire pour vendredi. J'ai terminé les questions a) et b) et dans la question c) j'ai montré qu'on a: f^3+f^2=0 <=> rg(f²)+rg(f+1)=n . Je souhaite montrer maintenant que rg(f²)+rg(f+1)=n <=> rg(f²)+rg(f+1)<=n . Pour cela,j'ai déjà montrer la première l'implication qui est: rg(f+1)+rg(f²)=n => rg(f+1)+rg(f²)<=n . Je souhaite montrer la deuxième et c'est la que je bloque. J'ai pensé montrer que Im(f²) et Im(f+1) sont supplémentaires. Pour cela, on a vu dans le cours qu'il faut montrer au moins que 2 des propositions suivant soient vérifiées:

1) Im(f²)interIm(f+1)={0} 2) Im(f²)+Im(f+1)=E 3) dim(Im(f+1))+dim(Im(f²))=dim(E).

C'est là que je bloque, je n'arrive pas à montrer que au moins 2 de ces conditions soient vérifiées ce qui me permettrait de conclure.

Merci d'avance pour votre aide.

[ffpower]

Indic: montre que en toute généralité,