Endomorphisme orthogonal

[gervaispn]

Salut aux membres du forum!
Je sollicite votre aide à travers cet exercice d'algèbre bilinéaire.Je vous prie d'être explicites dans vos propositions de solutions, par e-mail aussi, si possible.Merci d'avance.
Exercice:
Dans le R-espace euclidien ( R^3,(/) ), soit f un endomorphisme orthogonal dont la matrice dans la base canonique est A différente de l'identité.
1) Montrer que si L (Lampda) est valeur propre réelle de f alors L=+ou-1.
2) Montrer que si detA=1 alors L=1 est valeur propre d'ordre 1 ou 3 et le sous-espace propre E1 associé à L est de dimension 1.
3) Montrer que si detA=-1 alors L=-1 est valeur propre d'ordre 1 ou 3 et le sous-espace propre E-1 associé à L est de dimension 1.
4) Montrer que si detA=1 (respectivement detA=-1)alors le plan P=E1 (respectivement P=E-1) est invariant par f et la restriction de f à P est une rotation.
5) En déduire qu'il existe une base B orthonormée de R^3 telle que la Matrice A' de f dans cette base est A'=(aij),avec a11=cost(thèta), a12=-sint, a13=0, a21=sint, a22=cost, a23=0, a31=0, a32=0, a33=e(epsilon), où e=1 si detA=1 et e=-1 si detA=-1.

[tize]

Et un café avec ?

[nekros]

Et un café avec ?

Excellent :ptdr:


gervaispn, qu'as tu fais déjà ?

A+

[xon]

ton exo est la démonstration d'un truc classique qui est la réduction des endomorphismes orthogonaux en dimension 3 (çà marche aussi en dimension n) tu devrais trouver çà dans tout bon bouquin d'algèbre.

Voilà la question 1. pour t'aider à démarrer:

soit l une valeur propre de ton endomorphisme et x un vecteur propre associé.
En appelant P ton endo on a:
=l* et aussi ===1/l* (P' est la transposée de P) donc

l*=1/l* et donc l^2=1 ce qui donne bien l=+-1

[Mikou]

je confirme ce qu'a di xon.

[nox]

xon tu devrais utiliser LateX :D

(si tu sais encore a force d'utiliser Lyx :ptdr: )

mouahahaha

[gervaispn]

Soyez plus explicites s'il vous plaît.

[nekros]

Soyez plus explicites s'il vous plaît.

C'est peut-être à toi de faire quelques efforts :lol4:

A+