équa diff compliquée

[Danagos]

Bonjour à tous,
J'aimerai résoudre une équation différentielle relativement compliquée, je ne sais même pas si c'est faisable, voici ce que ça donne après moultes simplifications :

dx/dt = A+B*x+C*x²+D*x^(5/2)

Donc on peut l'écrire :

dt=dx/[A+B*x+C*x²+D*x^(5/2)]

Donc déjà est-ce possible? Si oui, comment je dois m'y prendre s'il vous plait?
Merci :)

[adrien69]

À mon avis séparation des variables puis intégration sur les fonctions rationnelles.
Y a de la littérature là-dessus.

[Danagos]

Comment je suis censé intégrer comme tu le dis sans polynôme au numérateur?
Faut que je trouve un moyen d'écrire 1/(A+B*x+C*x²+D^(5/2)) d'une autre manière, ou de l'intégrer directement mais c'est plutôt infaisable, à ma connaissance.

[JeanJ]

Salut,

Pour avoir un polynôme au dénominateur, fait le changement de variable x=X^2
Ensuite, il faut décomposer en fractions simples.On tombe alors sur une difficulté majeure : la résolution d'une équation polynomiale du 5ième degré.
Tu ne pourras continuer la résolution analytique que dans les rares cas particuliers où l'équation sera soluble analytiquement. Si non, il faudra recourir au calcul numérique pour avoir les valeurs approchées des racines.
A partir de là, on peut calculer la fonction t(x).
Finalement, pour obtenir x(t), il faudrait calculer la fonction réciproque. Ce qui ne semble pas possible analytiquement (sauf dans des cas particuliers, pour certaines valeurs particulières de A, B, C, D).
Donc, dans le cas général, il faudra passer par du calcul numérique compliqué, si on tient à cette méthode.
Il est plutôt conseillé d'abandonner dès le début cette méthode analytique (qui est résumée en page jointe) et d'utiliser une méthode numérique de résolution d'équation différentielle, appliquée directement sur l'équation initiale et donnant donc directement x(t).

Je ne peux pas joindre la page. Si tu la veux, contacte moi par la messagerie privée. Mais, à mon avis ce n'est qu'une curiosité, sans utilité en pratique.

[Danagos]

Ok je te remercie. En fait la méthode de résolution numérique est déjà faite, mais nous voudrions pouvoir la comparer à la méthode analytique pour en connaitre la précision et la validité.

[JeanJ]

Ok je te remercie. En fait la méthode de résolution numérique est déjà faite, mais nous voudrions pouvoir la comparer à la méthode analytique pour en connaitre la précision et la validité.

N'espère pas cela dans le cas général.
Mais en choisissant bien les paramètres A, B, C, D, de telle sorte que l'équation du 5ième degré soit soluble analytiquement, tu pourrais peut être trouver des cas particuliers où les vérifications que tu souhaites serraient faisables.

[Danagos]

Les constantes sont en fait des paramètres d'études. Je ne peux pas les choisir, elles sont fixes et pas très belles à voir. Je ne peux pas non plus simplifier des termes par rapport aux autres.

[adrien69]

Dans le cas où D est nul je connais par ailleurs une méthode très élégante de calcul : http://www.ams.org/notices/200203/fea-moll.pdf