Matrices diagonalisable

[Fr4NgUs]

Sujet résolu

[Fr4NgUs]

Sujet résolu merci

[Fr4NgUs]

Merci pour votre aide car la je souffre un peu :D

[Archibald]

Bonjour,

le spectre d'une matrice est tout simplement l'ensemble de ses valeurs propres.

[Fr4NgUs]

Je sais :) mais le prof a barré c'est ce que j'ai fais :D

[Archibald]

Désolé, je suis pour l'instant sur smartphone et je n'arrive pas à afficher ton image.

Peut-être t'es-tu tout simplement trompé dans le calcul des valeurs ?

[Fr4NgUs]

Je ne pense pas, je pense que si tu avais l'image tu comprendrais mon problème :D

[Fr4NgUs]

Personne ne sait comment faire ?

[Fr4NgUs]

Ou bien au moins des pistes car je bloque sur l'exo

[jlb]

Bonsoir, le polynôme que tu proposes annule A donc c'est un multiple du polynôme minimal!! ainsi tu peux conclure que le polynôme minimal n'a que des racines simples donc que A est diagonalisable.

la trace est nulle donc la somme des valeurs propres ( racines du polynôme minimal) est nulle, quelle est la seule possibilité sachant que 0 valeur propre interdite ( A inversible)? {1,1,-2}

du coup le polynôme minimal est (x+2)(x-1) car A diagonalisable donc racine simple et tu connais les valeurs propres.

A annule le polynôme minimal donc (A +2I)(A-I)=0, tu développes cela te donne A^3 ( en utilisant la première relation) et A^-1 directement (tu peux écrire A(A+I)/2 = I d'où A^-1)

[Fr4NgUs]

Bonsoir, le polynôme que tu proposes annule A donc c'est un multiple du polynôme minimal!! ainsi tu peux conclure que le polynôme minimal n'a que des racines simples donc que A est diagonalisable.

la trace est nulle donc la somme des valeurs propres ( racines du polynôme minimal) est nulle, quelle est la seule possibilité sachant que 0 valeur propre interdite ( A inversible)?

du coup le polynôme minimal est (x+2)(x-1) A diagonalisable donc racine simple et tu connais les valeurs propres

Bien au lieu de 0 1

[Fr4NgUs]

Merci beaucoup :D

[jlb]

oui, c'est ça {-2,1,1}

vu la tête de M les valeurs propres sont celles de A donc la condition nécessaire et suffisante pour M diagonalisable est (M+2I(indice6)(M-I(indice6))=0

Après tu dois remplacer M par ([A,0],[0,A]) + ([0,B],[0,0]) dans l'expression ci-dessus, tu développes et cela te donnera la condition (et ensuite ce qui se passe si A et B commutent)

[Fr4NgUs]

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Résolu merci.