Que veut dire "fonctions R -> R ?"

[AnthonyGG]

Bonjour !

J’aimerai savoir concrètement ce que veut dire :
-Les fonctions de R dans R ?
-R.e.v Respace vectoriel
-Endomorphisme

J'ai cherché sur wikipédia et google ... et ce n'est absolument pas pédagogique et ce n'est pas de mon faible niveau du coup je n'ai pas trop compris.
Merci !

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour !

J’aimerai savoir concrètement ce que veut dire :
-Les fonctions de R dans R ?
-R.e.v Respace vectoriel
-Endomorphisme

J'ai cherché sur wikipédia et google ... et ce n'est absolument pas pédagogique et ce n'est pas de mon faible niveau du coup je n'ai pas trop compris.
Merci !

Salut,

Les fonctions définies de R dans R sont des fonctions qui ont pour ensemble de départ et d'arrivée les réels.
Un R-ev ou R-espace vectoriel est une structure mathématique, c'est-à-dire un ensemble muni de deux lois (une additive interne + et une multiplicative externe . ) qui te permet de manipuler des vecteurs, qui ont la particularité de se multiplier par des scalaires (dans C ou R, ici c'est R) pour ensuite s'additionner entre eux, et faire des combinaisons linéaires (d'où l'importance de la stabilité des lois + et . ). Les vecteurs sont des objets mathématiques assez généraux (peuvent être des fonctions, des suites, des polynômes ou encore des matrices), et se distinguent des scalaires par le fait qu'on peut leur associer des composantes (écrites dans une base qui est propre à l'espace vectoriel de départ).
Un endomorphisme est une application linéaire (définition à creuser au sein du chapitre espaces vectoriels) qui va d'un espace vectoriel de départ E dans lui-même.

[AnthonyGG]

Je pense avoir compris tout sauf ça :

(...) qui va d'un espace vectoriel de départ E dans lui-même.

Hum ... Il ça comment ça il y va ?

[Kikoo <3 Bieber]

Je pense avoir compris tout sauf ça :

Hum ... Il ça comment ça il y va ?

Une application qui prend des vecteurs de E pour les transformer en des vecteurs... de E !

[AnthonyGG]

En gros une application qui laisse le vecteur dans le même espace E ? Qui ne le fait pas changer d'espace c'est ça ?

[Kikoo <3 Bieber]

En gros une application qui laisse le vecteur dans le même espace E ? Qui ne le fait pas changer d'espace c'est ça ?

Exactement !

[AnthonyGG]

Exactement !

Ah ok ok merci =) C'est plus clair comme ça.

[Kikoo <3 Bieber]

De rien, c'était rapide ! :)

[Sylviel]

Juste pour te donner un ou deux exemples :
un endomorphisme de R² c'est une application qui à chaque point du plan en associe un autre. De plus elle est linéaire ce qui veut dire que l'image de la somme de 2 point (au sens de somme des vecteurs) est la somme des images. Un exemple serait la projection orthogonale sur une droite. Un autre une homotéthie de centre l'origine (ce qui veut dire que tu multiplie tous les points par un réel, ou encore un "changement d'échelle").

[AnthonyGG]

Juste pour te donner un ou deux exemples :
un endomorphisme de R² c'est une application qui à chaque point du plan en associe un autre. De plus elle est linéaire ce qui veut dire que l'image de la somme de 2 point (au sens de somme des vecteurs) est la somme des images. Un exemple serait la projection orthogonale sur une droite. Un autre une homotéthie de centre l'origine (ce qui veut dire que tu multiplie tous les points par un réel, ou encore un "changement d'échelle").

ça me rappel mon cours, mais ça va tellement vite =D

Ok merci maintenant je comprend les termes de mon exercice ^^ C'est toujours ça de pris ^^

[AnthonyGG]

Ultime question ... :

Comment montrer que F par exemple est un sous espace vectoriel de R^3 ?
F={(x,y,z) appartient à R^3 / x+y-z=0 }

J'ai la solution sur le net, mais j'aimerai avoir une méthode générale pour tout les cas comme ça. Quelle est la mécanique a adopter ?
J'ai relus 10 fois mon cours mais ...

[Kikoo <3 Bieber]

Ultime question ... :

Comment montrer que F par exemple est un sous espace vectoriel de R^3 ?
F={(x,y,z) appartient à R^3 / x+y-z=0 }

J'ai la solution sur le net, mais j'aimerai avoir une méthode générale pour tout les cas comme ça. Quelle est la mécanique a adopter ?
J'ai relus 10 fois mon cours mais ...

Re,

Alors il faut montrer que F est un R-ev en tant que sev d'un R-ev de référence (ici nous prendrons simplement E=R^3).
Pour ce faire, il faut montrer que :
-> F est inclu dans E
-> 0E appartient à F
-> F est stable par + et .

On conclut en disant que F est un R-ev en tant que sev d'un autre espace, blahblah.

PS : En bref il faut simplement ici allonger les étapes et ne pas dire autre chose au final que "F est un sev de R^3", voilà.

[Archibald]

Bonjour,

par construction, tu sais déjà que F est inclus dans (espace-vectoriel)

donc pour montrer que F est une sous-espace vectoriel de , tu peux :

1) soit démontrer qu'il est stable par combinaison linéaire (donc par addition et multiplication par un scalaire)

2) soit utiliser l'équation qui le caractérise pour montrer que F est engendré par une certaine famille que l'on va calculer. Tu vois comment il faut s'y prendre ?

[Sylviel]

La méthode donnée est effectivement la méthode générique tu peux ajouter (pour trivialiser certains cas) que :
l'image d'une application linéaire est un Ev, le noyau d'une application linéaire est un Ev, la somme d'application Ev est un Ev, l'intersection (pas l'union) d'Ev est un Ev, le sev généré par une famille est un Ev (c'est trivial mais parfois ça sert).

[Archibald]

Plus précisément, l'union de deux ev, E et F, est un ev ssi E est inclus dans F ou F inclus dans E.

[AnthonyGG]

Dans les cas simples : On montre donc que l'élément nul existe dans l'ensemble et on démontre qu'il est stable par combinaison linéaire. Et on fait ça a chaque fois ?

Je n'ai pas vu la méthode 2/ et les méthodes plus compliqués je crois, ça me dit vraiment rien en tout cas.
Fort de tout ça je vais essayer de refaire 2-3 exos ... Je me sens beaucoup moins perdu maintenant merci bien. J'ai les corrections mais encore fallais t'il les comprendre !