Espaces euclidiens.

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour !

Soit
On pose
Je suis pas sûr de ce que je fais pour montrer que est une norme euclidienne, au niveau de l'inégalité triangulaire.
Alors pour montrer que j'y vais à tâtons (je prends le sens direct et espère tomber sur une trivialité). Je suis bien tenté d'élever le tout au carré pour voir ce qui se passe:
et alors il me reste à montrer que :
et si j'élève encore au carré c'est du Cauchy-Schwarz, je me trompe pas ?

Merci pour la vérif ^^

[adrien69]

Oui c'est bon.
(Et Cauchy-Schwartz c'est élevé au carré ou non. C'est du pareil au même)

Mais je ne vois pas pourquoi tu t'embêtes par contre...

Si tu as parlé de C-S c'est que tu sais que tu as affaire à un produit scalaire. Donc N est une norme. Et puis c'est tout.

[Kikoo <3 Bieber]

Oui c'est bon.
(Et Cauchy-Schwartz c'est élevé au carré ou non. C'est du pareil au même)

Mais je ne vois pas pourquoi tu t'embêtes par contre...

Si tu as parlé de C-S c'est que tu sais que tu as affaire à un produit scalaire. Donc N est une norme. Et puis c'est tout.

Mince alors, justement mon but est de montrer que N est une norme (et à cette étape on n'a pas encore défini de produit scalaire pour cette norme ! Vu que ce n'en est pas encore une)

[adrien69]

Ben montre que = ton bidule comme tu le sais très bien est un produit scalaire.

C'est bien plus simple à mon avis. C'est bilinéaire, c'est symétrique et c'est défini positif. C'est un produit scalaire et tu as fini.

[adrien69]

Ton seul problème (et encore) c'est pour montrer qu'elle est définie cette forme.

[Kikoo <3 Bieber]

Ton seul problème (et encore) c'est pour montrer qu'elle est définie cette forme.

Ok, en fait j'ai défini un produit scalaire : mais juste à la fin ! Donc en fait j'ai malmené ma question pour faire les choses à l'envers !

Si je récapitule, je dois :

-> Commencer par définir un produit scalaire adapté qui vérifie , et donc il s'agit d'une forme bilinéaire (condition N et S pour que la norme associée soit euclidienne si je ne me trompe pas), symétrique (cela se voit sur la formule), définie et positive.
Pour montrer qu'elle est définie, on a 2/(n+1) positif et la somme des P²(k) qui est positive aussi, non ?

-> Donner les axiomes d'une norme, puis finir par l'inégalité triangulaire en utilisant le produit scalaire dans C-S, ok ?
Et là pour conclure, je dis qu'il s'agit d'une norme euclidienne car on a bilinéarité du produit scalaire correspondant (c'est redondant car un p.s doit être bilinéaire...).

[adrien69]

Heiiin ?

Ton (où le 2 est de trop),

C'est une forme bilinéaire (ce qui n'est pas du tout une CNS sur la norme), c'est symétrique, c'est défini positif. Donc c'est un produit scalaire. Et donc ça définit une norme euclidienne car issue de lui. Un point c'est tout non ?

[Kikoo <3 Bieber]

Laisse-moi récapépète encore une fois :marteau:

J'ai
Donc t'as raison, pas de 2 !

Et ok pour la suite, je connais pas assez bien mes définitions !
Merki Adrien

[Kikoo <3 Bieber]

Pour continuer sur ma lancée, je dois définir une base orthonormée de R0[X], je peux prendre (1) ? Si je dois la compléter pour trouver une B.O.N de R1[X], j'ai qu'à rajouter un vecteur qui appartienne à un supplémentaire de R0[X] dans R1[X] non ? Puis faire en sorte qu'il soit orthogonal à 1 puis le normer ?