Un exercice très beau

[simo_yassine]

trouvez tous les nombres entiers naturels x et y

[chan79]

trouvez tous les nombres entiers naturels x et y

on peut poser
a=x+y
b=x-y

(x;y)=(1;3) est solution

[simo_yassine]

on peut poser
a=x+y
b=x-y

(x;y)=(1;3) est solution

j'ai fais mais je n'arrive pas toujours à résoudre cet exercice :help:

[chan79]

j'ai fais mais je n'arrive pas toujours à résoudre cet exercice :help:

x+y doit être égal au carré d'un entier n
soit
x+y=n²
x-y=6+n³

x=(n²+n³+6)/2
y=(n²-n³-6)/2 impossible car y doit être positif

soit
x+y=n²
x-y=6-n³

x=(n²+6-n³)/2
y=(n²-6+n³)/2
seules valeurs possibles de n pour que x soit positif: 0, 1 et 2
Finalement, seul n=2 convient
Une seule solution: (x;y)=(1;3)

[annick]

@Chan79

Bonjour,
soit je ne suis pas réveillée, soit il y a quelque chose qui m'échappe complètement dans le raisonnement.

On a :(x+y)^3=(x-y-6)²
Tu dis :"x+y doit être égal au carré d'un entier n"
Pour moi, ce n'est pas (x+y) qui est égal au carré d'un entier, mais c'est (x+y)^3.
de même tu écris x-y=6+n³, mais pour moi, c'est (x-y-6)=n^3.

Merci de m'expliquer ce qui me manque.

[chan79]

@Chan79

Bonjour,
soit je ne suis pas réveillée, soit il y a quelque chose qui m'échappe complètement dans le raisonnement.

On a x+y)^3=(x-y-6)²
Tu dis :"x+y doit être égal au carré d'un entier n"
Pour moi, ce n'est pas (x+y) qui est égal au carré d'un entier, mais c'est (x+y)^3.
de même tu écris x-y=6+n³, mais pour moi, c'est (x-y-6)=n^3.

Merci de m'expliquer ce qui me manque.

Bonjour annick
Il me semble que si le cube d'un entier est un carré, cet entier est un carré:
Soit un entier (décomposition en facteurs premiers)
son cube est

Si ce cube est un carré, chaque exposant est un multiple de 2, autrement dit chaque est un multiple de 2 et donc N est un carré.
Par ailleurs
x-y=6+n³ est équivalent à x-y-6=n³

[annick]

Un peu tardivement, Chan79, je te remercie pour ton explication qui éclaire parfaitement un raisonnement qui m'avait un peu échappé. Merci donc à toi et bonne fin de soirée.

[fma]

Chan79 plus fort que
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2By%29%5E3%3D%28x-y-6%29%C2%B2
qui n'a pas trouvé cette solution :++: