Inégalité à prouver

[744]

Alors voilà. Je bloque sur une inégalité à trouver, si certains se sentent l'envie de m'aider à se casser les dents dessus... :)
(les "<=" représentent des "inférieur ou égal", les "sqrt" des racines carrées)

On sait que X <= 1/2 ( sqrt(1-2a) + sqrt(1+2a) ) (appelons le membre de droite (1) )
On veut X <= sqrt(1-a²) (appelons le membre de droite (2) )
En indication, il est rappelé que sqrt(1-u)<=1-u/2 pour u<=1

Ceci n'est normalement pas un exercice indépendant. Les X et a en question sont des trucs de proba assez complexes. Mais je pense vraiment, de la façon dont la question est formulée, qu'il peut être résolu indépendamment du reste, et de la définition de X et a.
Cela dit, je peux sans doute majorer a par 1, ou 1/2, grâce à sa définition. Mais comme c'est assez compliqué à faire, j'attends de trouver de quelle majoration j'ai besoin, pour ensuite la prouver.

J'ai testé pas mal de choses, identités remarquables, ab<=1/2(a²+b²), ou encore de remarquer que la fonction (1)/(2) valait 1 en zéro, et donc ensuite d'essayer de prouver qu'elle était décroissante... Rien, je bloque.
Une idée ?

[Manny06]

Alors voilà. Je bloque sur une inégalité à trouver, si certains se sentent l'envie de m'aider à se casser les dents dessus...
(les "<=" représentent des "inférieur ou égal", les "sqrt" des racines carrées)

On sait que X <= 1/2 ( sqrt(1-2a) + sqrt(1+2a) ) (appelons le membre de droite (1) )
On veut X <= sqrt(1-a²) (appelons le membre de droite (2) )
En indication, il est rappelé que sqrt(1-u)<=1-u/2 pour u<=1

Ceci n'est normalement pas un exercice indépendant. Les X et a en question sont des trucs de proba assez complexes. Mais je pense vraiment, de la façon dont la question est formulée, qu'il peut être résolu indépendamment du reste, et de la définition de X et a.
Cela dit, je peux sans doute majorer a par 1, ou 1/2, grâce à sa définition. Mais comme c'est assez compliqué à faire, j'attends de trouver de quelle majoration j'ai besoin, pour ensuite la prouver.

J'ai testé pas mal de choses, identités remarquables, ab<=1/2(a²+b²), ou encore de remarquer que la fonction (1)/(2) valait 1 en zéro, et donc ensuite d'essayer de prouver qu'elle était décroissante... Rien, je bloque.
Une idée ?

les deux membres de la 1° inégalité étant positifs tu peux remplacer par X²<(1)²
tu développes (1)²
dans cette expression tu trouves sqrt(1-4a²) que tu peux majorer par 1-2a²
en arrangeant tu trouves X²<=1-a²........

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les deux membres de la 1° inégalité étant positifs tu peux remplacer par X²<(1)²
tu développes (1)²
dans cette expression tu trouves sqrt(1-4a²) que tu peux majorer par 1-2a²
en arrangeant tu trouves X²<=1-a²........

C'est... C'était si simple... :doh:
J'y ai passé des heuuuures...
Je... Merci !!!
Je vais aller pleurer un peu plus loin