Loi binomiale

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !

J'ai du mal avec le problème suivant et j'aimerais que vous m'aidiez à le résoudre et pas seulement ça : j'aimerais savoir comment vous avez procédé (le principe, vous verrez assez confus)

Dans une entreprise, il y a 10 imprimantes identiques fonctionnant de façon indépendantes tous les jours
Chaque jour, la probabilité qu'une imprimante tombe en panne est de 0.002
Le risque de panne un jour donné est indépendant des pannes survenues les jours précédents
1)Déterminer la probabilité qu'une imprimante tombe en panne au moins une fois pendant un mois ( 30 jours )
2)Calculer alors la probabilité qu'aucune des 10 imprimantes ne tombe en panne au moins une fois pendant le mois (30 jours)
3)Déterminer la probabilité que moins de 3 imprimantes tombent en panne au moins une fois pendant le mois ( 30 jours)
4)Déterminer la probabilité qu'au moins 4 imprimantes tombent en panne au moins une fois pendant le mois ( 30 jours)

Ce qui est difficile dans la loi binomiale c'est de comprendre l'énoncé et de raisonner, et j'aimerais que vous m'appreniez ça (si possible dans le cadre général, pour réussir n'importe quel exercice en loi binomiale :s)

Merci infiniment

[tototo]

[quote="upium666"]Bonjour à tous et à toutes !

J'ai du mal avec le problème suivant et j'aimerais que vous m'aidiez à le résoudre et pas seulement ça : j'aimerais savoir comment vous avez procédé (le principe, vous verrez assez confus)

Dans une entreprise, il y a 10 imprimantes identiques fonctionnant de façon indépendantes tous les jours
Chaque jour, la probabilité qu'une imprimante tombe en panne est de 0.002
Le risque de panne un jour donné est indépendant des pannes survenues les jours précédents
1)Déterminer la probabilité qu'une imprimante tombe en panne au moins une fois pendant un mois ( 30 jours )
p(au moins une fois en panne)=1-p(jamais en panne)=1-(0,998)^30=0,05829=5,8%
2)Calculer alors la probabilité qu'aucune des 10 imprimantes ne tombe en panne au moins une fois pendant le mois (30 jours)
3)Déterminer la probabilité que moins de 3 imprimantes tombent en panne au moins une fois pendant le mois ( 30 jours)
4)Déterminer la probabilité qu'au moins 4 imprimantes tombent en panne au moins une fois pendant le mois ( 30 jours)

Ce qui est difficile dans la loi binomiale c'est de comprendre l'énoncé et de raisonner, et j'aimerais que vous m'appreniez ça (si possible dans le cadre général, pour réussir n'importe quel exercice en loi binomiale :s)

Merci infiniment

[neibaf]

Bonjour,

une petite aide pour la première question : il me semble qu'il est beaucoup plus facile de calculer la probabilité de l'événement contraire...

Bon courage.
Fabien :)

[spike0789]

Bonjour,

Utilise la loi P(X=k)=(k parmi n)*p^k*(1-p)^(n-k)
avec p=0,002 et n=30 jours...

Donc P(X>=1)=1-P(X=0)

[upium666]

Il n'y a aucun problème à ce sujet :

En effet pour la question 1) :

et le tour est joué

Le problème se pose à partir de la question 2 (et là réside tout le problème : la compréhension de l'énoncé et son interprétation en langage probabiliste ! :triste: )

Merci

[Archibald]

Il faut calculer , tout simplement.

[spike0789]

P(X=0) ou P(X=0)^10 ? (pour la question 2)

[Archibald]

Pourquoi mettre en puissance dix ?

[spike0789]

Bin je sais pas trop, comme la on étudie la proba de 10 imprimantes, j'ai un doute...

[upium666]

Vous voyez, l'approche est assez compliquée :s ...
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer sa démarche ?

[leon1789]

Pour les questions 2) 3) 4), n'y-t-il pas un lien avec la loi binomiale où q est la probabilité d'un évènement précédemment étudié (pour une imprimante, tomber en panne au moins une fois par mois, q=1-0.998^30) ?

[Archibald]

Bin je sais pas trop, comme la on étudie la proba de 10 imprimantes, j'ai un doute...

Je viens de me rendre compte en lisant plus attentivement l'énoncé qu'il faut choisir le bon paramètre de notre loi binomiale.

On associe à la probabilité que, chaque jour, une imprimante sur 10 tombe en panne.
C'est donc notre événement succès. Et est alors la variable aléatoire indiquant le nombre de succès.

: chaque jour, exactement une imprimante est tombée en panne, et ce k jours/30

La question 2 nous demande manifestement de calculer , c'est-à-dire la probabilité qu'il y ait au moins un jour parmi 30 où aucune imprimante n'est tombée en panne. D'où :



soit une probabilité d'environ 5.83%

[upium666]

Je viens de me rendre compte en lisant plus attentivement l'énoncé qu'il faut choisir le bon paramètre de notre loi binomiale.

On associe à la probabilité que, chaque jour, une imprimante sur 10 tombe en panne.
C'est donc notre événement succès. Et est alors la variable aléatoire indiquant le nombre de succès.

: chaque jour, exactement une imprimante est tombée en panne, et ce k jours/30

La question 2 nous demande manifestement de calculer , c'est-à-dire la probabilité qu'il y ait au moins un jour parmi 30 où aucune imprimante n'est tombée en panne. D'où :



soit une probabilité d'environ 5.83%

Vous vous contredites un peu en ayant défini = Probabilité que "chaque jour, une imprimante sur 10 tombe en panne. " et en disant

La question 2 nous demande manifestement de calculer , c'est-à-dire la probabilité qu'il y ait au moins un jour parmi 30 où aucune imprimante n'est tombée en panne. D'où :

non ? :s

Je me perds un peu là ...
(Et c'est là toute la confusion)

[leon1789]

pour la première question 1), il n'y a pas à considérer le nombre d'imprimantes : la question se réfère à une imprimante quelconque.

Le nombre d'imprimantes n'intervient que dans les questions suivantes 2) 3) 4), et comme je disais, c'est la loi binomiale B(10, q) avec q=1-0.998^30. Il s'agit alors de calculer P(X=0) ou P(X < 3) ou P(X >= 4), tout simplement.