Suite numérique

[tofu69]

Soit (Un) une suite définie par Un= n*3^n
1) calculer les valeurs des termes u0, u1, u2, u3
Jusqu'içi pas de problèmes: U0= 0
U1= 3
U2= 18
U3= 81
2) montrer que la suite (Un) est strictement croissante
Je bloc car je ne sais pas ce que je dois utiliser pour prouver. Sa doit être tout bête ...

Merci d'avance !

[titine]

Soit (Un) une suite définie par Un= n*3^n
1) calculer les valeurs des termes u0, u1, u2, u3
Jusqu'içi pas de problèmes: U0= 0
U1= 3
U2= 18
U3= 81
2) montrer que la suite (Un) est strictement croissante
Je bloc car je ne sais pas ce que je dois utiliser pour prouver. Sa doit être tout bête ...

Merci d'avance !

U(n+1)= (n+1)*3^(n+1)
Donc U(n+1) - U(n)= (n+1)*3^(n+1) - n*3^n = n*3^(n+1) + 3^(n+1) - n*3^n
= n*3^n*3 + 3^(n+1) - n*3^n
= n*3^n (3 -1) + 3^(n+1)
= n*3^n*2 + 3^(n+1) qui est positif
Donc U(n+1) - U(n) > 0
Donc U(n+1) > U(n)
Ce qui prouve que la suite est croissante.

[tofu69]

Merci beaucoup :)

[Archytas]

Tu peux aussi montrer que le quotient est >1 (Un+1/Un > 1) c'est peut être plus facile !

[tofu69]

est-ce que cela suffit si je dit que (n+1)*3^n+1 / n*3^n > 1 ou il faut que je démontre plus ?

[Archytas]

ça suffit, il suffit de dire que Un>0 pour tout n mais c'est assez évident par contre simplifie un peu, ça se verra encore mieux !

[tofu69]

Merci beaucoup, mais je n'arrive pas à la simplifié :/

[tofu69]

est-ce que cela donne 9n+1/3n ?

[Archytas]

est-ce que cela donne 9n+1/3n ?

Presque... sauf si tu as pas mis les parenthèse auquel cas c'est bon mais la simplification fait mal aux yeux :
9(n+1)/(3n)=3*(n+1)/n et donc c'est effictivement strictement supérieur à 1 !

PS: la méthode proposée par titine fonctionne très bien aussi, tu peux choisir celle que tu veux !

[tofu69]

Merci pour votre gentillesse !