Test statistiques / probabilité

[marion1560]

Bonjour,

j'ai un petit probleme à la compréhension de deux exercices de proba (trouvés sur le site unice.fr):

exercice 1
Les lectures de la tension artérielle systolique en mm Hg sur un individu à la même heure pendant 3 jours successifs ont été :
160.88, 160.11, 162.65

On estime qu'un individu souffre d'hypertension si sa tension moyenne excède 160 mm Hg.
1)Pour analyser les résultats, quel test choisit-on parmis :
-H0 : m>=160 contre H1 : m160
-H0 : m=160 contre H1 : m!=160

2)On suppose que les tensions sont des réalisations d'une variable aléatoire de loi normale. Quel est le risque de se tromper en affirmant que l'individu ne souffre pas d'hypertension (exprimé en %) ?

pour la premiere question j'ai répondu H0 : m160 parce que on a moins de valeurs qui sont inferieurs ou égal a 160 et H0 est "pensée" pour être rejetée.
le site semble valider ma réponse mais puisqu'il ne prend pas en compte le raisonement : si il y a une erreur dans ce que j'ai dis n'hésitez pas.

2)cette question me pose probleme : si je la comprends bien (mais j'ai des doutes...) de calculer la probabilité que H0 soit rejeter sachant qu'elle est vrai : c'est a dire le risque de premier espece.
j'ai bien envie de poser T=(1/n) comme estimateur de la moyenne mais je sais pas trop quoi faire avec : vu que je ne connais ni l'esperence ni la variance je me penche vers un estimateur de la variance pour etablir une loi de student.
le probleme c'est qu'on me donne pas de zone de rejet de H0 et pour la calculer il me faudrai un niveau de confiance non?
mais apparament il n'y en a pas besoin :
la réponse doit etre 12.398 mais je n'ai aucune idée de comment obtenir ce résultat? en faite j'ai toujours pensé qu'on devais fixé a l'avance ce risque de premiere espece(ou au moins fixé une zone de rejet ou un niveau de confiance pour un intervale de confiance) c'est pas le cas?

Exercice 2
Le poids (en grammes) de farine contenue dans un paquet peut être modélisé par une variable aléatoire de loi N(m,sigma2) avec m inconnu et sigma = 8 g. Sur le paquet, il est indiqué Poids : 1 kg .

1- Calculer la valeur minimale de m qui assure que moins de 2 % des paquets ont un poids inférieur à 1 kg

Pour cette question j'ai qu'une idée mais elle semble pas très efficace : l'idée est de chercher m vérifiant P(X<=1000)<=2% (X suivant une loi normale)mais pareil je suis bloqué : il faudrais pouvoir calculer la fonction de répartition de la loi normale mais ca semble pas une bonne idée.

qu'en pensez vous?

[Robic]

Comme il n'y a pas eu de réponse, je me permets de faire quelques remarques. Mais j'avoue que j'ai oublié les détails des formules, donc ce sera juste des généralités.

Pour la première question de l'ex. 1, j'aurais choisi les mêmes H0 et H1. Je me dis que la majorité des gens ne sont pas malades, et en général H1 sert pour vérifier qu'on n'a pas un résultat qui sort de la normalité, donc ici H1 serait l'hypothèse "malade". D'un autre côté, le risque du test, ce serait alors le risque de croire qu'un patient en bonne santé est malade. Est-ce que le risque ne devrait pas plutôt être qu'un patient malade soit considéré comme en bonne santé ? Je ne sais pas. Mais il y a un indice, la 2è question. On demande le risque de se tromper en affirmant que le patient est bonne santé. Or le risque correspond à H1. Il me semble que alpha est le risque de se tromper quand on rejette H0, donc quand on accepte H1. Du coup ça suggère de choisir plutôt H0 = « m >= 160 ». (Il est possible que j'ai confondu - mes souvenirs sont vagues - mais je pense qu'e, tout cas l'idée est bonne.)

Erratum : mais non ! On observe un m plus grand que 160, donc la question est de savoir s'il est anormal ou si c'est juste une fluctuation aléatoire. Une flucutation aléatoire, c'est H0. Donc j'en reviens à H0 = "pas malade". (Bref, ça m'a l'air assez compliqué de décider...)

Pour la 2è question de l'ex. 1, je pense que tu as le bon point de départ (cas où on doit estimer à la fois la moyenne et la variance, donc avec la loi de Student). Mais au lieu de construire un intervalle de confiance pour un seuil donné, on veut trouver le seuil qui donne l'intervalle de confiance limite.

Je prends un exemple bidon (les nombres sont pris au pif, seule l'idée compte). Mettons qu'on teste le nombre de petits pois dans une boîte de conserve. Normalement il doit y en avoir 5000 mais c'est une moyenne. On ouvre dix boîtes et... horreur, il n'y en a que 4500 en moyenne dans les dix. Est-ce dû à une arnaque ou est-ce juste un effet du hasard ? On va tester H0 = « m = 5000 » contre H1 = « m < 5000 ».
- Avec un seuil de 95 %, on va trouver un intervalle de confiance de (au pifomètre) [4800 ; 5200 ]. Donc on admet qu'il y avait une arnaque, avec 5 % de chance de se tromper.
- Avec un seuil de 99 %, par contre, l'intervalle est plus grand, mettons qu'il soit de [4300 ; 5700]. Cette fois on accepte H0.

L'idée, c'est que ni 4300 ni 4800 ne correspondent à la moyenne estimée (4500). En rejettant H0 au risque de 5 %, on était large. Mais on peut calculer alpha pour que l'intervalle soit pile poil [4500 ; 5500] (ici j'ai pris l'exemple d'un test bilatéral, dans l'exercice c'est peut-être un test unilatéral, peu importe). Cet alpha correspond au risque exact de se tromper (admettre H1 alors que c'était H0). Pour l'obtenir on fait le calcul à l'envers : on se donne l'intervalle, on en déduit le seuil.

Pour l'ex. 2, je pense que ton idée de départ est bonne. Si on note (loi normale centrée réduite) on a :
.
Il faut donc trouver m tel que , ce que tu sais sûrement faire. Ce sera la valeur minimale possible puisqu'avec un m plus petit, forcément cette probabilité serait plus grande (ça se voit sur un dessin de la loi normale).

[marion1560]

merci enormement pour la réponse je me demandais si j'allais avoir des réponses mais en meme temps j'imagine que vous êtes probablement assez occupé.

Concernant le premier exercice,question2.
si j'ai bien compris on cher juste a calculer une probabilité avec l'estimateur "standard" de la moyenne m et l'intervale de confiance "limite".
Mais les choses sont pas tres claires dans ma tete pour deux points:
--comment choisir l'intervale I ?
en faite au vu de H0 moralement j'aurais tendance à valider H0 pour les m "grand" donc I est de la forme
et je pose où x est la réalisation de X.
Mais bon ca fait un bon bidouillage et ca semble pas tres rigoureux, je sais même pas si le raisonement est correct?

--meme en suposant que mon raisonement est corect calculer P(X >= x) semble tordu parce que j'ai envi de me ramener a une loi de student donc de calculer où S est la réalisation de lestimateur de la variance et n=3 pour mon cas.
mais le probleme c'est justement que je ne connais pas m et donc je ne peux pas calculer cette proba si?

[Robic]

Mettons qu'on choisisse H0 = "m t_\alpha) = \alpha[/tex] où T suit la bonne loi de référence (ici Student, je pense). Ensuite, la décision se fera par une méthode qui ressemble à ça :

Si on accepte H0 (pas d'hypertension, tout va bien - m peut être un peu plus grand que 160 par fluctuation au hasard). Cette formule, je l'ai reprise d'un test où on utilise la loi normale, je ne me souviens plus de la bonne formule avec Student. Mais c'est quelque chose de ce genre.

Eh bien dans cet exercice, il faut remplacer (en fait 160 + la bonne formule, ici ce n'est pas la bonne) par la moyenne estimée (de l'ordre de 161 je crois - tu ne connais pas m mais tu peux l'estimer) ce qui donne une équation où l'inconnue auxiliaire est . Une fois déterminé ce , on en déduit avec la table de la loi de Student.

Au fait, si on avait posé la question « déterminer au seuil de 95 % si la patient est en bonne santé », est-ce que tu saurais le faire ? C'est pour savoir si ce qui te bloque, c'est la construction du test ou bien le fait qu'ici on cherche .

[marion1560]

Pour l'hypothese H0 "m<160" semble un bon choix effectivement mais puisque dans l'enoncé on a pas l'égalité stricte...
Enfin voila ce que j'ai essayé a la suite de votre réponse:

On note une famille de variables aleatoires independantes et suivant la meme loi normal
on note l'estimateur de la moyenne
et l'estimateur de la variance
grace au donnée on peut calculé ces estimateurs:



D'apres mon cours j'ai suit une loi de student a (n-1) degrés de liberté


On note le quantile d'ordre de la loi de student de (n-1) degré de liberté.
c'est a dire que si Y est une variable aleatoire suivant une loi de Student à n-1 degrés de liberté alors

on a donc
c'est a dire
or sous H0 on a m cad

le cas limite est le cas d'egalité:

on en déduit:

avec les valeurs des realisation:
environ mais je pense que c'est assez precis mais pour etre rigoureux : on a pas egalité...

donc on cherche
par la table de loi student a 2 degré de liberté (en faite j'utilise l'outils trouvé sur le site : http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?wims_window=new&+session=FW1A83D9E4_tool&+lang=fr&+module=tool%2Fstat%2Ftable.fr)
on trouve 0.82948 ce qui fait en % 82.948. mais fallait trouver 12.398. bon y'a un qui traine quelque part mais je sais pas trop où et meme avec ca 12.398+82.948 != 100
...
je pense que je me rapproche de la solution mais c'est pas encore ca :triste:

[marion1560]

bon apres plusieurs heures de recherche sur internet et sur mes feuilles de papier je me suis apercu que dans mes calcul j'avais oublié une racine carré c'est brillant ca... : au final le resultat est bien ce qu'il fallait trouver. Toute mes excuses et encore merci pour l'aide Robic.

Bonne soirée.

[Robic]

Ah, je suis content que ça marche !

Quand j'aurais le temps je relirai ton avant-dernier message pour essayer de retrouver le résultat, parce que ça m'intéresse d'y arriver aussi. (Si je viens ici de temps en temps, c'est souvent pour chercher des idées, et je trouve cet exercice assez original...)