Idéal premier

[Cheche]

Bonjour à tous, :)


J'ai une questions très bizarre mais j'ai du mal à en trouver la preuve :

- Est-ce que tout anneau admet un idéal premier ?
- Est-ce que tout anneau admet un élément premier ?

=> I premier ssi (I ;) A et A/I intègre )
=> p premier ssi (p) est un idéal premier non nul.

Merci d'avance,

[Doraki]

Avec l'axiome du choix on montre que tout anneau contient un idéal maximal, donc un idéal premier.

Pour ta deuxième question, je pense que non, par exemple prend A = l'anneau des entiers algébriques (l'ensemble des nombres complexes qui sont racines d'un polynôme unitaire à coefficients entiers). Dedans, tout le monde a une racine carrée, donc trouver un élément premier me paraît plutôt compromis.

[Cheche]

Merci beaucoup mon ami :)
S'il faut sortir l'axiome du choix, cela me rassure.

Thx
Je regardais une preuve par l'absurde :

Tout idéal de A contient un produit d'idéaux premiers.

Soit F l'ensemble, supposé non vide, des idéaux de A qui ne contiennent aucun produit d'idéaux premiers (en particulier aucun produit indexé par un singleton, donc les éléments de F ne sont pas premiers, et aucun produit indexé par le vide, donc A n'appartient pas à F).

Etc ... donc sur le moment, j'avais besoin de cette propriété pour m'en sortir.
Merci

[Cheche]

Je ne suis pas un professionnel de l'axiome du choix mais comment est-ce que l'on peut être sur de la présence d'un idéal maximal ?

[Cheche]

Je n'ai rien dis :)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Krull