Détermination du volume central d'un tore croisé

[chan79]

V est le volume cherché
on pose a =

V =

on développe le carré



ligne A

avec

On calcule donc J en commençant par poser



quand h varie de 0 à a, x varie de 0 à

on donc



on sort r qui est constante



on pose x = sin t (x est plus petit que 1)

dx = cos t dt

quand x varie de 0 à b, t varie de 0 à arcsin(b)

on pose







on a

et comme on a la formule





on remplace J à la ligne A







il y a une simplification qui est la bienvenue :happy2:



en espérant ne pas avoir fait trop d'erreurs de frappe
On retrouve bien la même formule que celle que j'ai mise au début, obtenue avec la théorème de Guldin sachant que .
On peut faire plus simple en intégrant avec un angle, tu devrais voir ce qu'a fait hammana.

[hammana]

il y a une simplification qui est la bienvenue :happy2:



en espérant ne pas avoir fait trop d'erreurs de frappe

Bonjour Chan

Il faut beaucoup de souffle pour mener cette intégrale à terme. Peux-tu nous indiquer comment tu as fait ton superbe dessin?

[chan79]

Bonjour Chan

Il faut beaucoup de souffle pour mener cette intégrale à terme. Peux-tu nous indiquer comment tu as fait ton superbe dessin?

Bonjour hammana,
le logiciel geoplan-geospace permet de dessiner des cylindres dans l'espace
c'est peut-être possible avec geogebra5 mais je connais moins
Bonne journée

[new-physician]

Bonjour hammana,
le logiciel geoplan-geospace permet de dessiner des cylindres dans l'espace
c'est peut-être possible avec geogebra5 mais je connais moins
Bonne journée

Oui super dessin merci..

Merci beaucoup pour les détails du calcul.

Mais on a 2rR*J, on fait le changement de variable dans J, pourquoi on ne l'applique pas au r devant?

:happy2:

[chan79]

Oui super dessin merci..

Merci beaucoup pour les détails du calcul.

Mais on a 2rR*J, on fait le changement de variable dans J, pourquoi on ne l'applique pas au r devant?

:happy2:

r est une constante, c'est le rayon du disque qui pivote
ce qui varie, c'est h, x et t.

[new-physician]

r est une constante, c'est le rayon du disque qui pivote
ce qui varie, c'est h, x et t.

Merci beaucoup. Je suis arrivée au résultat final. Mais je ne suis pas convaincue par ce r. Même si c'est une constante, on l'introduit dans le changement de variable en remplaçant h/r par x, donc je ne vois pas pourquoi on ne devrait pas faire la même chose pour le r qui se trouve devant. La nouvelle variable x dépend de r, même si c'est une constante... :triste:

Je vais avoir un autre problème géométrique ressemblant à celui ci je vais voir si j'arrive à le résoudre par moi même, sinon je le posterai? :lol3:

[chan79]

Merci beaucoup. Je suis arrivée au résultat final. Mais je ne suis pas convaincue par ce r. Même si c'est une constante, on l'introduit dans le changement de variable en remplaçant h/r par x, donc je ne vois pas pourquoi on ne devrait pas faire la même chose pour le r qui se trouve devant. La nouvelle variable x dépend de r, même si c'est une constante... :triste:

Je vais avoir un autre problème géométrique ressemblant à celui ci je vais voir si j'arrive à le résoudre par moi même, sinon je le posterai? :lol3:

Supposons que le disque qui tourne ait comme diamètre r=3, le premier changement de variable est x=h/3 et dx=dh/3
on remplace dh par 3dx et on sort le 3 avant d'intégrer.
c'est pareil pour n'importe quel r.

[new-physician]

Supposons que le disque qui tourne ait comme diamètre r=3, le premier changement de variable est x=h/3 et dx=dh/3
on remplace dh par 3dx et on sort le 3 avant d'intégrer.
c'est pareil pour n'importe quel r.

Ok. Super.

Je souhaiterais maintenant, mauvaise nouvelle, calculer le volume complet du tore.

Comment le faire? Si j'utilise le theoreme de Guldin j'obtiens le meme volume que pour un tore simple! :hein:

[chan79]

Ok. Super.

Je souhaiterais maintenant, mauvaise nouvelle, calculer le volume complet du tore.

Comment le faire? Si j'utilise le theoreme de Guldin j'obtiens le meme volume que pour un tore simple! :hein:

Avec le théorème de Guldin, ça doit aller pourtant.

[new-physician]

Avec le théorème de Guldin, ça doit aller pourtant.

pour être honnête je n'y comprends pas grand chose, pour moi ça donne la formule générale pour un tore ouvert :triste:

[chan79]

l'axe ne doit pas couper la surface qui pivote
Tu dois déterminer la position du centre de gravité G2 de la zone rouge (distance HG2) ainsi que l'aire de cette zone.
Il peut y avoir des méthodes plus simples.

[new-physician]

l'axe ne doit pas couper la surface qui pivote
Tu dois déterminer la position du centre de gravité G2 de la zone rouge (distance HG2) ainsi que l'aire de cette zone.
Il peut y avoir des méthodes plus simples.

:marteau: :mur:

Je vais essayer...

[new-physician]

Alors voici ce que j'ai fait (à confirmer ou pas..)
:stupid_in

Vu que votre dernier dessin ressemble de beaucoup au précédent où on avait calculé la somme des volumes des cylindres, j'ai repris le même modèle.

Je détermine l'aire de la surface rouge en calculant la différence entre la surface totale du cercle pi * r^2 et l'aire de la surface non colorée. Pour déterminer la surface non colorée je calcule la somme des aires de rectangles de largeur qui correspond sur le dernier dessin à MN avec une hauteur h qui varie de 0 à racine (r^2-R^2). Et je multiplie le tout par deux. L'intégrale ressemble donc beaucoup à la précédente avec la racine pour les cylindres, à la différence d'un facteur pi.

Serait-ce une méthode valable?

j'aimerais pouvoir vérifier mon résultat final....

[chan79]

Alors voici ce que j'ai fait (à confirmer ou pas..)
:stupid_in

Vu que votre dernier dessin ressemble de beaucoup au précédent où on avait calculé la somme des volumes des cylindres, j'ai repris le même modèle.

Je détermine l'aire de la surface rouge en calculant la différence entre la surface totale du cercle pi * r^2 et l'aire de la surface non colorée. Pour déterminer la surface non colorée je calcule la somme des aires de rectangles de largeur qui correspond sur le dernier dessin à MN avec une hauteur h qui varie de 0 à racine (r^2-R^2). Et je multiplie le tout par deux. L'intégrale ressemble donc beaucoup à la précédente avec la racine pour les cylindres, à la différence d'un facteur pi.

Serait-ce une méthode valable?

j'aimerais pouvoir vérifier mon résultat final....

Ici, on n'ajoute pas des volumes de cylindres de hauteur dh. Je pense que c'est plus rapide avec Guldin. Il faut calculer la distance HG2.

[chan79]

Pour r=5 et R=4, j'arrive à 1984,287...
A confirmer

[new-physician]

Pour r=5 et R=4, j'arrive à 1984,287...
A confirmer

oui, mon calcul est faux, j'obtiens une valeur négative pour le volume...

[chan79]

oui, mon calcul est faux, j'obtiens une valeur négative pour le volume...

L'aire de la zone rouge est:
On peut obtenir la position de G2 par un calcul intégral


Finalement, la distance OG2 est

Le volume engendré est
à vérifier et à comparer avec la première formule proposée dans cette discussion