Factoriser somme de produits de facteurs

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Je suis bloqué par ce qu'il y a dans le titre (après un calcul de sommes)

L'expression à mettre en facteurs est:


Et l'on doit trouver:



Merci d'avance pour toute aide Cordialement le fouineur

[Rockleader]

Sans avoir trop regardé, ce que je ferais en priorité c'est de tout multiplier par deux pour bien avoir du 1/6; quitte à faire apparaître ce facteur dans le terme de droite. Le reste doit aller tout seul je pense.

[le fouineur]

bonjour rockleader et merci pour ton aide,

Si je multiple par 2 le premier terme pas de problème,je tombe sur du 1/6, par contre si je multiplie le deuxième par 2, je tombe sur du 1/2....

Je ne vois pas comment m'en sortir car je n'en ai jamais fait.

Cordialement le fouineur

[spike0789]

Bonjour,

Il suffit de voir que le dernier terme peut s'écrire : n(n+1)^2/2. Puis tu factorises le tout par n(n+1)/2 et je te laisse finir...

[le fouineur]

Bonjour spike0789 et merci pour ta réponse rapide,

Voila ce que j'ai trouvé:

(1/2)*(n(n+1)(2n+1))/6 + (1/2)*(n(n+1))/2 + [n(n+1)^2]/2

=[(1/6)*(n(n+1))/2 + (n(n+1))/2]*[(2n+1)+(n+1)] + (1/2)*(n(n+1))/2

=[(1/6)*(n(n+1))/2 + (n(n+1))/2]*[3n+2] + (1/2)*(n(n+1))/2

=n(n+1)/12 + [n(n+1)(3n+2)]/2 + (1/2)* (n(n+1))/2

Ce qui donne:[n(n+1)(9n+8)]/6 qui n'est pas le bon résultat....

Ou est mon erreur dans ce calcul?

Merci de me répondre Cordialement le fouineur

[spike0789]

Salut,

Je pense que tu t'es emmêlé les pinceaux dans ta factorisation à la deuxième ligne.
C'est plutôt :

(1/2)*(n(n+1)(2n+1))/6 + (1/2)*(n(n+1))/2 + [n(n+1)^2]/2
=[(1/2)*n*(n+1)]*[(2n+1)/6+1/2+(n+1)]
(on ramène le terme en facteur au même dénominateur)
=[(1/2)*n*(n+1)]*[((2n+1)+3+6*(n+1))/6]
=[(1/2)*n*(n+1)]*[(8n+10)/6]
=[(1/2)*n*(n+1)]*[(4n+5)/3]
=n*(n+1)*(4n+5)/6

Le résultat recherché :)

[le fouineur]

Merci spike0789 pour cette brillante démonstration,

Je vais reprendre le calcul depuis le début.

Avec mes remerciements Cordialement lefouineur