Bon du coup je suis encore plus embrouillé qu'avant, j'ai donc trouvé une fonction borélienne mais pas lebesgue mesurable en m'inspirant des deux réponses précédentes. Voila ce que j'ai fais :
Si f est la fonction de Cantor et C l'ensemble de Cantor ( escalier du diable ) en prenant la définition donnée sur mathcurve (
ici ) on voit que f(C)=[0;1] et même que c'est même une bijection entre ces deux ensembles, on note donc g la restriction de f à C, qui admet donc une réciproque : h=g^-1 de [0;1] dans lui même ( et dont l'image est C ).
On a donc h^-1(C)=[0;1] et c'est encore une bijection entre ces deux ensembles, soit P une partie de [0;1] qui ne soit pas dans la tribu de Lebesgue, A=h^-1(P) est donc un sous ensemble de C et est donc dans la tribu de Lebesgue, on a cependant que h^-1(A)=P. C'est donc que h n'est pas mesurable pour la tribu de Lebesgue.
Il reste à montrer que h est borélienne. Puisque f est monotone g, sa restriction à C, l'est aussi et donc sa réciproque h est elle aussi monotone. Or une fonction monotone est borélienne, c'est donc que h est borélienne.
Seulement voila le problème : puisque h est monotone et bornée elle est Riemann-intégrable mais pas lebesgue-intégrable. non seulement c'est très décevant de la part de l'intégrale de Lebesgue mais en plus dans mon cours il est dit que si une fonction est riemann intégrable alors elle est lebesgue intégrable ... Du coup j'ai sûrement du me tromper quelque part. et je ne suis pas plus avancé !
