Problème de groupes

par **jameso** » 23 Aoû 2006, 19:51

bonsoir,

voila je cherche s'il existe une injection de S3 dans A4 et on me dit que s'il en existe une ,alors l'image serait un sous-groupe de A4 d'ordre 6

je suis ok pour dire que l'image est un sous groupe de A4 mais pourquoi serait-il d'ordre 6

après reste à voir qu'il n'y a pas de sous groupes d'ordre 6 dans A4 mais c'est une autre question...

merci
jameso

par **ayanis** » 23 Aoû 2006, 20:04

Bonsoir,

mais qui est A4? S3 est-elle la sphère de dimension 3 en dimmension 4? je m'interroge...

ttyl

par **jose_latino** » 23 Aoû 2006, 20:05

L'image de

est isomorphe a

, car l'homomorphisme est injectif.

est le groupe des simétries du triangle.

est le susgroupe de permutations alternées de

(le groupe de permutations de 4 éléments ou de simétries du carré.

par **polymathematic** » 23 Aoû 2006, 20:08

bonjour
soi µ cette injection
en fete le card(S3) = 6 =card( µ(S3) ) (µ inj et surj S3 -----> µ(S3) dc bijective)

par **jose_latino** » 23 Aoû 2006, 20:22

Une petite aide:

est justement le groupe de symmetries du tetrahedron. Dire qu'il existe un monomorphisme de

vers

s'interpréte geométriquement par le fait que avec symmetries du tetrahedron, c'est possible d'obtenir tous les symmetries d'une face, mais tu trouveras que c'est impossible intuitivement. Il faut le formaliser.

par **polymathematic** » 23 Aoû 2006, 20:25

j ne voi pa ce que tu veu dire

par **jameso** » 23 Aoû 2006, 20:54

je viens de comprendre ...

merci pour votre participation
jameso

par **tize** » 23 Aoû 2006, 21:22

Je pense que S3 est le groupe symétrique sur {1,2,3} à 6 éléments et A4 le groupe alterné sur {1,2,3,4} à 12 éléments dire qu'il existe une injection (ou plutot un morphisme injectif je pense) de S3 dans A4 implique evidement que |Im(f)|=|S3|=6

par **Vedeus** » 24 Aoû 2006, 00:28

J'en profite pour donner une preuve agréable du fait que

n'a pas de sous-groupe d'ordre 6.

Postulons en effet l'existence d'un tel sous-groupe G. Alors G est d'indice 2 dans

, donc distingué dans

, et on récupère alors alors un homomorphisme (surjectif)

de noyau G. Mais si on prend un 3-cycle x de

, on a nécessairement 0=f(x^3)=3.f(x)=f(x). Donc G devrait posséder tous les 3-cycles de

. Ah mais il y en a 8 et G est sensé avoir 6 éléments :cry:

par **jameso** » 28 Aoû 2006, 18:26

merci vedeus pour cette preuve ...

j'ai encore une autre question sur une démo:

on me dit que A4 (permutations signatures paires) admet des 2-sylow d'ordre 4 (ok par thm du même nom)

les elements d'ordre 2 sont dans ces 2-sylow (ok par cauchy) or il n'y a que 3 elements d'ordre 2 donc ils forment avec id un unique sous groupe K d'ordre 4 isomorphe au groupe (Z/2Z)²
(ok pas de pb)

mais ensuite on me dit que mon groupe K est caractéristique puisqu'unique donc distingué

donc je ne vois pas (pour l'instant) pourquoi K est caractéristique ????

jameso

par **abcd22** » 04 Sep 2006, 12:00

Bonjour,

jameso a écrit:donc je ne vois pas (pour l'instant) pourquoi K est caractéristique ????

Un automorphisme de A4 transforme K en un sous-groupe de S4 de cardinal 4, qui ne peut être que K, non ?

par **RadarX** » 04 Sep 2006, 21:06

Vedeus a écrit:J'en profite pour donner une preuve agréable du fait que
n'a pas de sous-groupe d'ordre 6.

Postulons en effet l'existence d'un tel sous-groupe G. Alors G est d'indice 2 dans , donc distingué dans

Oui!

et on récupère alors un morphisme (surjectif) de noyau G. Mais si on prend un 3-cycle x de , on a nécessairement 0=f(x^3)=3.f(x)=f(x). Donc G devrait posséder tous les 3-cycles de . Ah mais il y en a 8 et G est sensé avoir 6 éléments

Par quel moyen recupere-t-on le morphisme suivant

de noyau G?

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