Boule de dimension n

[Nightmare]

Salut,

on sait qu'à rayon fixé la boule de dimension n voit son volume tendre vers 0 quand n grandit et par conséquent il existe une dimension dans laquelle le volume est maximal.

Quel doit être le rayon de la boule pour que la dimension 3 soit celle dans laquelle elle est la plus volumineuse?

Plus généralement, a-t-on une expression simple d'une fonction qui à une dimension n associe un rayon r tel que le volume des boules de rayon r soit maximal en dimension n?

[adrien69]

Salut,
Je ne me souviens plus de la formule exacte du volume de la sphère unité en dimension n (elle est horrible, y a du gamma et d'autres cochonneries) mais il me semble que quitte à considérer que n est un paramètre continu et en remarquant que on devrait s'en sortir.

[Doraki]

V(r,n) = ;)^(n/2) r^n / (n/2)!,

donc sqrt(;)) r / sqrt((n+1)/2) < V(r,n+1) / V(r,n) < sqrt(;)) r / sqrt(n/2)
(en supposant que sqrt(n) < (n+1/2)!/n! < sqrt(n+1/2), ce qui est plausible)

donc il faut chosir r de sorte que sqrt(;)) r / sqrt(n/2) = 1,
soit r = sqrt(n/2;)) ?

[Nightmare]

Salut Doraki,

désolé du temps de réponse je passe pas souvent en ce moment.

Je suis ok avec ta réponse. On sait que ce rayon n'est pas unique et qu'on peut même en trouver une infinité. Peut-on en trouver un entier?

[Doraki]

Non, la fonction r -> la dimension n qui donne la boule de volume maximal augmente trop vite pour avoir sa restriction à N surjective (n ~= 2;)r², en vertu de l'heuristique précédente).

Ceci dit j'ai rien vérifié, je peux m'être trompé.