Continuité uniforme

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Nightmare
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Continuité uniforme

par Nightmare » 20 Avr 2013, 13:59

Salut,

quelle est la meilleure interprétation graphique que vous avez de l'uniforme continuité d'une fonction R->R ?



Doraki
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par Doraki » 20 Avr 2013, 14:24

qu'il existe un petit papillon qu'on peut faire glisser le long de la courbe tel que la courbe reste à l'intérieur du papillon.

Nightmare
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par Nightmare » 20 Avr 2013, 14:43

L'idée de faire glisser un truc le long de la courbe me paraît pas mal, mais l'image du papillon par contre je suis pas sûr que ce soit le mieux choisi, parce qu'un truc qui "reste à l'intérieur d'un papillon" c'est un peu étrange comme formulation :lol3:

ffpower
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par ffpower » 20 Avr 2013, 16:11

Je ne comprend pas non plus l'histoire du papillon :)

Moi je ferais plutot glisser une bande verticale de largeur petite fixée et dirait que la bande horizontale "image" doit rester elle aussi de largeur petite.

C'st certes moins poétique que le papillon^^

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 20 Avr 2013, 16:55

ffpower a écrit:Je ne comprend pas non plus l'histoire du papillon :)

Moi je ferais plutot glisser une bande verticale de largeur petite fixée et dirait que la bande horizontale "image" doit rester elle aussi de largeur petite.

C'st certes moins poétique que le papillon^^

Mais ça ressemble déjà plus à l'image que je me fais de la "k-lipschitziannité" par exemple !
Je vois pas ce que Doraki voulait dire avec le papillon.

Mathusalem
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par Mathusalem » 20 Avr 2013, 17:03

Il veut dire que tu peux toujours dessiner des ailes de papillon (i.e triangles je suppose) telles que la fonction sorte toujours par les bords extérieurs des ailes.

Enfin c'est comme ça que je l'ai vu, et c'est comme ça que j'ai interprété ce que dit Doraki

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leon1789
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par leon1789 » 20 Avr 2013, 17:04

Est-ce que je peux poser une question étrange ?

On sait tous qu' une fonction continue sur un compact y est uniformément continue.
Il y a une (des) preuve(s) pour cela... Mais ma remarque est la suivante :


si on se donne concrètement une preuve de la continuité d'une fonction f "bien" définie sur un compact K, alors la preuve contient en elle (dans ses propres lignes) la preuve que f est uniformément continue sur K.


Est-ce que ce méta-principe tient la route ? (au moins pour des intervalles compacts de R.)

Sylviel
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par Sylviel » 20 Avr 2013, 17:13

Mathusalem a écrit:Il veut dire que tu peux toujours dessiner des ailes de papillon (i.e triangles je suppose) telles que la fonction sorte toujours par les bords extérieurs des ailes.

Enfin c'est comme ça que je l'ai vu, et c'est comme ça que j'ai interprété ce que dit Doraki

S'il s'agissait de triangle on aurait de la Lipschitziannité. Les ailes de papillons c'est justement pour dire qu'on peut mettre autre chose que des triangles. Tu peux parler de diabolo si tu n'aime pas les papillons ^^.

edit : enfin si je ne dis pas de bêtises.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

ffpower
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par ffpower » 20 Avr 2013, 17:50

Mathusalem a écrit:Il veut dire que tu peux toujours dessiner des ailes de papillon (i.e triangles je suppose) telles que la fonction sorte toujours par les bords extérieurs des ailes.

Enfin c'est comme ça que je l'ai vu, et c'est comme ça que j'ai interprété ce que dit Doraki


J'ai toujours pas compris. enfin tel que je le comprend ça me semble juste caractériser la continuité.
Disons que je vois pas ce qui différencie l'uniforme continuité de de la non uniformité de x², vu que rien dans le critére ne semble casser la symétrie entre horizontal et vertical.

[quote="Kikoo 0.[/TEX]
-Si , alors en posant , on a

Si en posant on a



Cette demo, pour une fonction très simple, ne s'adpate pas clairement à la preuve de l'uniforme continuité. Enfin disons plutôt qu'elle s'adapte mais qu'il faut la triturer (remplacer la dichotomie x=0 ou x diff de 0 par x petit ou x pas petit).

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leon1789
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par leon1789 » 21 Avr 2013, 09:36

ffpower a écrit:Ca dépend beaucoup de ce que tu appelles "bien défini" (à quel point a t'on le droit d'être implicite pour fabriquer la nouvelle fonction) et ce que tu appelles "la preuve contient" (à quel point on a le droit de la triturer),

je suis d'accord avec toi.

ffpower a écrit:mais en première approche je dirais que la réponse est plutôt non:
prenons par exemple et la démo naive suivante de sa continuité sur R+

Soit dans et
-Si , alors en posant , on a

Si en posant on a



Cette demo, pour une fonction très simple, ne s'adpate pas clairement à la preuve de l'uniforme continuité. Enfin disons plutôt qu'elle s'adapte mais qu'il faut la triturer (remplacer la dichotomie x=0 ou x diff de 0 par x petit ou x pas petit).

Merci pour ton exemple, je vais y réfléchir.

Sylviel
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par Sylviel » 21 Avr 2013, 10:41

Pour être un peu plus précis tu as la définition de l'uniforme continuité suivante :


donc on peut définir une fonction définie sur R^+ qui vérifie cette propriété. On doit pouvoir aisément la modifier pour la rendre inversible, et c'est la courbe qui fait les ailes du papillon. Le point uniforme étant que l'on a la même forme pour tout les points de la courbe, là où la continuité pourrait voir la forme varier.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

Nightmare
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par Nightmare » 21 Avr 2013, 14:17

Salut à tous et merci pour vos réponses. Je prépare la leçon "uniforme continuité et applications" et j'aimerais faire apparaître principalement dans cette leçon la force de l'uniforme continuité par rapport à la continuité. C'est pour cela que je cherche une interprétation graphique qui montre réellement la distinction entre les deux.

Il est vrai que comme ffpower j'ai du mal avec l'histoire du papillon mais je pense avoir compris avec la dernière explication de Sylviel. Cela dit, est-ce que cela a un intérêt particulier de considérer cette fonction alpha(epsilon)?

Sinon, avez-vous en têtes des idées de développement originaux sur cette leçon?

Sylviel
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par Sylviel » 21 Avr 2013, 15:55

vérifie quand même que je n'ai pas dis d'ânerie sur le sujet (je suis convaincu mais bon, on sait jamais). Je ne pense pas que cela ai un intérêt, ça permet juste de visualiser la différence.

Pour le développement j'ai peur de dire des bêtises mais il me semble que tu dois pouvoir faire la démonstration du théorème d'Ascoli même si elle n'est pas très compliquée pour un dev (de mémoire).
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

jlb
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par jlb » 21 Avr 2013, 16:10

salut, j'ai souvenir d'un truc important que rappelait sans cesse mon prof: elles transportent les suites de Cauchy mais bon tu as du l'utiliser.

SimonB
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par SimonB » 22 Avr 2013, 09:08

Elle existe cette leçon ? Je ne la vois pas dans le rapport 2012... (si tu parles de l'agreg)

Sinon sur la distinction, il y a le truc classique qu'une fonction uniformément continue définie sur est inférieure en valeur absolue à une fonction du type , ce qui différencie manifestement les concepts.

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leon1789
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par leon1789 » 22 Avr 2013, 12:16

SimonB a écrit:Sinon sur la distinction, il y a le truc classique qu'une fonction uniformément continue définie sur est inférieure en valeur absolue à une fonction du type .

oui ,
et du coup, on retrouve une espèce de papillon bleu encadrant la fonction rouge :
Image

Nightmare
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par Nightmare » 22 Avr 2013, 12:32

Salut SimonB,

cette leçon a disparue depuis 2010 mais ça ne coûte rien d'en faire une courte préparation pour prévenir une réapparition soudaine.

Concernant le fait d'être majorée en valeur absolue par un V, j'en parle évidemment dans la leçon mais je me pose la question suivante concernant la réciproque : Quelle hypothèse pas trop lourde peut-on rajouter à l'existence de ce V majorant pour assurer l'uniforme continuité?

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leon1789
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par leon1789 » 23 Avr 2013, 09:43

Pour une éventuelle réciproque, je me dis qu'il faut ajouter l'existence d'un V pour toute translation de la fonction : pour tous , on suppose .

Mais c'est loin d'être suffisant car toute fonction bornée vérifie cette condition. Il faut donc ajouter une condition locale... Je ne sais pas, cela me paraît pas gagné.

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leon1789
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par leon1789 » 23 Avr 2013, 09:43

ffpower a écrit:Ca dépend beaucoup de ce que tu appelles "bien défini" (à quel point a t'on le droit d'être implicite pour fabriquer la nouvelle fonction) et ce que tu appelles "la preuve contient" (à quel point on a le droit de la triturer), mais en première approche je dirais que la réponse est plutôt non: prenons par exemple et la démo naive suivante de sa continuité sur R+

J'ai bien conscience que mon histoire est assez confuse puisque les règles du jeu ne sont pas fixées clairement. Mais ça arrive souvent que les règles soient précisées (ou même modifiées) une fois qu'on a commencer à jouer.


[quote="ffpower"]Soit dans et

-Si , alors en posant , on a
,
non tous nuls, ,
au moins un d'eux nul, , alors on a , puis (car la fonction est positive).


Conclusion :

Peut-on dire que la preuve de la continuité contenait la preuve de l'uniforme continuité ?

 

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