Exercice sur fonction de transfert T

[naspy]

Bonjour, donc j'ai un exercice sur une fonction de transfert T, de la variable réelle positive ou nulle w ( pulsation ), définie par :
T(w) : ( 1 + j(w/wo) ) / ( 1 + 2j(w/wo) ) ou wo ( pulsation propre ) est un réel strictement positif connu, et ou j est le nombre complexe de module 1 et d'argument /2

A cet effet, on pose y=w/wo et on considère la fonction f à valeurs complexes de la variable réelle positive ou nulle y , définie par :
f(y)= (1+jy) / (1+2jy)

1/a/ calculer f(0) et f(1)
c'est fait

b / Résoudre l'équation f(y) = 3/4 - (1/4)j
C'est fait

2 / Montrer que, pour tout y de l'intervalle [0 ; +infini[, le module de f(y) - 3/4 est égale à 1/4. En déduire que l'ensemble C est une partie d'un cercle dont on précisera le centre et le rayon

J'ai montré que f(y) - 3/4 = 1/4 mais je ne sais pas faire la partie " en déduire que .... "
En fait j'ai essayé avec la méthode des égalités de modules qui doivent prouver que les points sont sur le meme cercle, mais je trouve seulement que Oméga A = 1/4...
HELP

3 / Vérifier que pour tout y de l'intervalle [0 ; +infini[ : f(y)= 1/2 + 1/2 x (1 / (1+2jy) )
C'est fait

4 / Définir alors et représenter sur la figure l'ensemble D des points d'affixe z = 1 + 2jy lorsque y décrit l'intervalle [0 ; +infini [
Nous admettrons que l'ensemble C des points d'affixe f(y) est le demi cercle de centre ( 3/4;0 ) et de rayon 1/4 privé du point d'affixe 1/2 et situé dans le demi plan des ordonnées négatives ou nulle ( Y 0 )
Représenter l'ensemble C

C'est fait


5/ On pose pour y réel positif , Phi(y) = Arctan ( y) - Arctan (2y)
Montrer que le tableau de variations de fonction Phi est :

y 0 V2/2 +infini

phi'(y) - 0 +

phy(y) 0 flèche bas phy(V2/2) fleche haut 0

La je sais pas du tout


6/ Montrer, en utilisant une propriété de l'argument, que l'argument de f(y) est égal a phi(y)

La non plus

Merci

[mrif]

Bonjour, donc j'ai un exercice sur une fonction de transfert T, de la variable réelle positive ou nulle w ( pulsation ), définie par :
T(w) : ( 1 + j(w/wo) ) / ( 1 + 2j(w/wo) ) ou wo ( pulsation propre ) est un réel strictement positif connu, et ou j est le nombre complexe de module 1 et d'argument /2

A cet effet, on pose y=w/wo et on considère la fonction f à valeurs complexes de la variable réelle positive ou nulle y , définie par :
f(y)= (1+jy) / (1+2jy)

1/a/ calculer f(0) et f(1)
c'est fait

b / Résoudre l'équation f(y) = 3/4 - (1/4)j
C'est fait

2 / Montrer que, pour tout y de l'intervalle [0 ; +infini[, le module de f(y) - 3/4 est égale à 1/4. En déduire que l'ensemble C est une partie d'un cercle dont on précisera le centre et le rayon

J'ai montré que f(y) - 3/4 = 1/4 mais je ne sais pas faire la partie " en déduire que .... "
En fait j'ai essayé avec la méthode des égalités de modules qui doivent prouver que les points sont sur le meme cercle, mais je trouve seulement que Oméga A = 1/4...
HELP

3 / Vérifier que pour tout y de l'intervalle [0 ; +infini[ : f(y)= 1/2 + 1/2 x (1 / (1+2jy) )
C'est fait

4 / Définir alors et représenter sur la figure l'ensemble D des points d'affixe z = 1 + 2jy lorsque y décrit l'intervalle [0 ; +infini [
Nous admettrons que l'ensemble C des points d'affixe f(y) est le demi cercle de centre ( 3/4;0 ) et de rayon 1/4 privé du point d'affixe 1/2 et situé dans le demi plan des ordonnées négatives ou nulle ( Y 0 )
Représenter l'ensemble C

C'est fait


5/ On pose pour y réel positif , Phi(y) = Arctan ( y) - Arctan (2y)
Montrer que le tableau de variations de fonction Phi est :

y 0 V2/2 +infini

phi'(y) - 0 +

phy(y) 0 flèche bas phy(V2/2) fleche haut 0

La je sais pas du tout


6/ Montrer, en utilisant une propriété de l'argument, que l'argument de f(y) est égal a phi(y)

La non plus

Merci

2) Si on appelle A le point d'affixe 3/4 et M le point d'affixe f(y), on a:
|f(y) - 3/4| = AM = 1/4 donc l'ensemble des points M est inclus dans le cercle de centre A et de rayon 1/4.

5) tu dérives phi:
phi'(y) = 1/(1+y²) - 2/(1+4y²) = (2y² - 1)/[(1+y²)(1+4y²)] qui s'annule pour y = Rac(2)/2 d'où le tableau de variation

6) indication:
arg[f(y)] = arg((1+jy)) - arg(1+2jy) + 2kpi
tan[arg(1+jy)] = tan(y) et tan[arg(1+2jy)] = tan(2y)

[naspy]

Merci beaucoup mrif, ce n'était pas si dur en fait.