Intersection de sphères

[jlb]

Bonjour à tous,

1ère famille de sphères: elles contiennent le cercle d'équation {z=0 et x²+y²-2y=1} et ont pour centre le point (0,1,alpha)
2ème famille de sphères: elles contiennent le cercle d'équation {x=0 et z²+y²+2y=1} et ont pour centre le point (béta,-1,0)

je n'arrive pas à visualiser comment se comporte l'intersection des deux sphères par rapport aux cercles précédents, auriez-vous une piste?
(les familles de sphères sont orthogonales)

sinon, je devais déterminer les coordonnées du centre du cercle d'intersection, j'ai montré que l'intersection correspondait à l'intersection d'une sphère et d'un plan, j'ai projeté le centre de la sphère sur le plan et déterminé les coordonnées mais bon c'est assez chaud: vous voyez une autre technique?)
et au final il reste à trouver le lieu du centre quand alpha varie seul puis quand alpha et béta varient et là je galère aussi!!!
Merci pour tout aide, bonne journée.

[Doraki]

Ben il suffit de faire les calculs nan ? Tu as montré que deux cercles quelconques dans leur famille respective se coupent orthogonalement ou c'est un truc que tu dois montrer ?

Normalement le lieu du centre quand 1 paramètre varie est une courbe fermée (en comptant le plan contenant le cercle initial comme sphère de rayon infini passant par ce cercle) du genre un cercle, et le lieu quand les 2 paramètres varient devrait être un machin qui ressemble à un tore (et invariant par (x,y,z) -> (z,-y,x)).

[jlb]

bon alors,c'est parti pour poursuivre les calculs, merci.
(je cherchais si on pouvait montrer cela plus géométriquement ou s'il existait une méthode plus efficace.)

[jlb]

bon, j'ai trouvé des expressions immondes et du coup j'ai regardé ce qui se passe si les paramètres sont égaux et je trouve comme lieu une droite incluse dans le plan y=0.

sinon je ne vois vraiment pas ce qui se passe entre l'intersection et les cercles de départ: auriez-vous une référence pour visualiser cela (sphères orthogonales et cercles inscrits dans ces sphères)

merci pour toute aide.

[jlb]

après avoir trituré les expressions des coordonnées, je trouve pour béta>alpha>0 l'intersection d'un cylindre à base une ellipse avec un plan ( sauf erreurs de calculs non négligeables!!): cela confirme la forme proposée (à laquelle doit s'ajouter des cas dégénérés le plan tangent au cylindre)
merci Doraki.

par contre, si quelqu'un a une référence pour visualiser ce qui se passe entre l'intersection de deux sphères orthogonales et un cercle contenu dans une des sphères, je l'en remercie.

[siger]

après avoir trituré les expressions des coordonnées, je trouve pour béta>alpha>0 l'intersection d'un cylindre à base une ellipse avec un plan ( sauf erreurs de calculs non négligeables!!): cela confirme la forme proposée (à laquelle doit s'ajouter des cas dégénérés le plan tangent au cylindre)
merci Doraki.

par contre, si quelqu'un a une référence pour visualiser ce qui se passe entre l'intersection de deux sphères orthogonales et un cercle contenu dans une des sphères, je l'en remercie.

Bonjour,
Quelques petites considerations geometriques
les centres des spheres sont respectivement sur des droites D1 et D2 coupant l'axe Oy aux points A(0,1,0) et B(0,-1,0) et situées dans les plans yOz et yOx
soit les points M(0,1,alpha) et N(beta,-1,0) sur ces droites
On a MN² = alpha² + beta² + 4
et aussi r1² = alpha² + 2 et r2² = beta²+2 si r1 et r2 sont les rayons des spheres de centres M et N qui se coupent suivant un cercle (C)
d'ou MN² = r1² + r2²
le cercle (C) est situé dans un plan perpendiculaire a MN et pour un point C de ce cercle on a
MC² + NC² = r1² + r2² = MN²
Par suite ce triangle est un triangle rectangle en C

l'intersection des deux spheres est donc identique a celle d'une sphere de diametre MN et d'un plan perpendiculaire a MN en un point H tel que HM = r1²/(V(r1²+r2²)) = .....
......

[Doraki]

Si on prend un cercle M1 de centre (0,1,;)), son rayon R1 vérifie R1² = ;)² + 2
Si on prend un cercle M2 de centre (;),-1,0), son rayon R2 vérifie R2² = ;)² + 2
et on a donc M1M2² = ;)²+;)²+2² = (;)²+2) + (;)²+2) = R1² + R2², donc les deux sphères se coupent orthogonalement.

Le centre C du cercle d'intersection se trouve à distance R1²/M1M2 de M1 et R2²/M1M2 de M2,
donc M1C = (R1²/M1M2²) M1M2 (en vecteurs), et donc C est le point (t;),1-2t,(1-t);)) avec t = (;)²+2)/(;)²+;)²+4), soit (;)²;)+2;), ;)²-;)², ;);)²+2;))/(;)²+;)²+4).

Si ;) est fixe et on fait tendre ;) vers l'infini, C tend vers le point (;),-1,0) comme on pouvait s'y attendre.
à ;) ou ;) fixé le lieu géométrique est généralement une ellipse (ax²+b(y-c)²+dz+e = 0)
(qui est évidemment dans le plan contenant le point M qui est fixe et la droite du M qui bouge)

lorsque ;)=0 ou ;)=0 on obtient deux petits cercles de rayon 1/2 (qui passent tous les deux par (0,0,0) mais avec des directions orthogonales).
lorsque ;)=;) on obtient la droite (y=0, x=z)
lorsque ;)= -;) on obtient la droite (y=0, x= -z)
lorsque ;) est infini ou ;) est infini on obtient les deux droites initiales.

donc pour dessiner une ellipse particulière, on connait donc son plan, les 2 extrémités (un axe) de l'ellipse, plus une paire de points symétriques (réflexion autour de cet axe), ce qui est suffisant pour la déterminer.

Si on rajoute les points à l'infini on obtient bien un tore.

[jlb]

merci à vous, j'étais un peu perdu pour visualiser tout cela.

[hammana]

merci à vous, j'étais un peu perdu pour visualiser tout cela.

Pour ne pas reprendre des détails connus, voilà quelques jalons (j'utilise a pour alpha et b pour béta):
Les sphères ont pour centres les points C1 (0, 1, a) et C2 (b, -1, 0,)
L'intersection des deux sphères est contenue dans le plan P d'équation -bx+2y+az=0, ce plan coupe le plan xOy suivant la droite D d'équation -bx+2y=0
Les coordonnées du centre C3 du cercle d'intersection (intersection de C1C2 et P) sont:

x=b(a²+2)/(a²+b²+4), y=(b²-a²)/(a²+b²-4), z=a(b²+2)/(a²+b²+4)

Pour trouver la projection sur xOy du lieu de C3 lorsque a varie seul, b restant fixe, on élimine a entre les expressions de x et y et on trouve la droite 2x+by=b.

D'ailleurs tout ce calcul est inutile. Un raisonnement géométrique bien conduit montre que cette droite est la perpendiculaire menée (dans le plan xOy) du point (0,1), projection de C1 sur xOy, à la droite D.

"Il est plus difficile de faire simple que de faire compliqué" (Steve Jobs)