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Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Mathusalem
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par Mathusalem » 19 Avr 2013, 23:25

Bonsoir,

En me penchant sur un certain problème d'isopérimétrie, j'aimerais justifier ma pensée suivante de manière un peu plus solide :

J'ai un domaine dans le plan Oxy délimité par une courbe fermée. Il se trouve que ce domaine est convexe. Comment puis-je montrer, ou si c'est trop compliqué, bien justifier, qu'il existe forcément une fonction en représentation polaire de la courbe qui délimite le domaine ? A savoir, si l'origine du repère polaire se trouve à l'intérieur du domaine, il doit être possible de paramétrer la courbe par une fonction sans devoir se soucier qu'il existe deux valeurs de r pour un même



ffpower
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par ffpower » 20 Avr 2013, 02:58

Suffit de justifier que toute demi droite partant de O coupe la frontiere du convexe en un point et un seul, ce qui est assez voyant, et pas trop dur à prouver:
-Le fait qu'il y ait un point d'intersection est trivial du fait que ton convexe est borné
-Si il y avait deux points d'intersections A et B, avec disons OA>OB, alors en choisissant C et D deux points du convexe tels que O soit sur [CD] et tel que (CD) soit distincte de (OA), on aurait que le triangle ACD serait contenu dans le convexe, et B est à l'intèrieur de ce triangle, donc à l'intérieur du convexe, et donc pas sur la frontière. Absurde..

Nightmare
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par Nightmare » 20 Avr 2013, 03:06

Salut,

sauf erreur il suffit d'utiliser le fait que l'intérieur d'un convexe est convexe. En conséquence si un segment partant de l'intérieur du convexe contient un point de la frontière, alors ce point en est une extrémité (et donc le segment ne peut venir croiser la frontière une seconde fois).

Donc à chaque point de la frontière on peut bien associer des coordonnées polaires et ce en prenant n'importe quel point intérieur pour origine.

Edit : Ah bah non même pas besoin de l'intérieur convexe!

ffpower
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par ffpower » 20 Avr 2013, 03:16

Je pense qu'il y a une faille dans ta version Night, car rien dans ton raisonnement ne semble empecher que l'intersection de la demi droite et de la frontière soit un segment [AB]

Mathusalem
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par Mathusalem » 20 Avr 2013, 12:50

Ok. Le raisonnement par l'absurde me convainc.

Merci et bonne journée

Nightmare
Membre Légendaire
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par Nightmare » 20 Avr 2013, 14:19

ffpower tu as parfaitement raison, c'est passé sous silence. Cela dit ça se montre facilement, par exemple à l'aide de ta démo :ptdr:

 

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