Arithmétique

[ffpower]

Déterminez les couples de rationnels dont la somme est l'inverse du produit. :zen:

[capitaine nuggets]

Déterminez les couples de rationnels dont la somme est l'inverse du produit. :zen:

Hey intéressant :++:

[Lostounet]

Bonjour...

Une indication stp?
J'ai commencé par poser y = kx
Ce qui m'a conduit à:

x = 1/³;)(k + k²)
Qui n'est rationnel que si k + k^2 est un cube parfait, ou avec une racine cubique rationnelle.. Je ne sais pas

[ffpower]

Perdre la symétrie n'est pas une bonne chose.

Indic: l'équation à résoudre est xy(x+y)=1 avec x,y rationnels. Considérer l'entier d tel que X=dx et Y=dy soient des entiers premiers entre eux.

[Lostounet]

Ensuite? Je bloque... :( Je n'ai malheureusement pas les réflexes en arithmétique !
Aurais-tu un exemple un peu plus simple pour que je puisse m'entrainer :we:
Merci !

[ffpower]

Tu as réécris l'équation en terme de X,Y et d? Après il faut utiliser un truc très classique quand on résout une equa diophantienne, qui en général saute aux yeux avec un minimum d'expèrience..Disons que c'est une sorte d'analogue de "un produit est nul ssi un des facteurs est nul"^^

J'ai pas vraiment d'autres équations diophantiennes sous la main (simples en tout cas, en général faut faire de l'arithmétique dans Z[i]) ou autre anneau.

PS: si j'ai posé cet exercice en particulier c'est pas non plus par hasard. C'est lié à un autre topic de cette page, mais faut résoudre l'exercice pour comprendre pourquoi :zen:

[Dacu]

Déterminez les couples de rationnels dont la somme est l'inverse du produit. :zen:

Bonsoir!
Soit où .Il s'ensuit que et donc il est nécessaire que où .L'équation n'a aucuns solution dans .
Cordialement!

[Matt_01]

Fermat !


.

[ffpower]

Matt: :zen:

Dacu: ta demo demande à être plus détaillée

[Lostounet]

Tu as réécris l'équation en terme de X,Y et d? Après il faut utiliser un truc très classique quand on résout une equa diophantienne, qui en général saute aux yeux avec un minimum d'expèrience..Disons que c'est une sorte d'analogue de "un produit est nul ssi un des facteurs est nul"^^

Bon... Si tu veux réécrire l'équation avec d, X et Y:

xy(x + y) = 1

dxdyd(x + y) = d^3



Si XY divisent d^3, donc X et Y divisent d^3 (Gauss...)
X + Y divise d^3...
Fermat?

[ffpower]

Bon... Si tu veux réécrire l'équation avec d, X et Y:

xy(x + y) = 1

dxdyd(x + y) = d^3

Ok juste là. Après, le fait que X et Y divisent d^3, c'est pas Gauss, c'est juste la def (d^3=aX avec a entier)
Mais c'est pas ça qu'il faut utiliser. J'ai vu sur un autre topic que tu savais caractériser les triplets pytagoriciens ou la même astuce est utilisée, donc je pense que tu connais: que conclure du fait que XY(X+Y) est un cube?

[Lostounet]

Comme d^3 = d*d^2 = d^2*d J'ai vraiment envie d'écrire:
XY = d^2 ; (X + Y) = d

Ou bien l'inverse... Je ne sais pas si cela nous avance?
Dans tous les cas, il devrait y avoir une forme particulière que tu cherches à expliciter... Pourrais-tu me dire le but justement, quels renseignements tu as envie de tirer du fait que c'est un cube. Cela me permettrait peut-être de proposer quelque chose.
Désolé si je ne comprends pas...

[ffpower]

Si un produit de nombres 2 à 2 premiers entre eux est un cube (resp une puissance p-ieme), alors chacun des nombres est un cube (resp une puissance p-ieme)

[Dacu]

Matt: :zen:

Dacu: ta demo demande à être plus détaillée

Bonjour!
Il est nécessaire que les racines de l'équation , et donc où et encore et .Aussi l'équation n'a pas solutions .
Cordialement!

[Lostounet]

Si un produit de nombres 2 à 2 premiers entre eux est un cube (resp une puissance p-ieme), alors chacun des nombres est un cube (resp une puissance p-ieme)

Je ne connaissais pas ce théorème: http://serge.mehl.free.fr/exos/prod_cube.html

Mais en fait, je ne sais pas si la somme (X + Y) est première avec X et Y... Quel argument permet de l'affirmer?

[ffpower]

Comme il n'y a plus de mouvement sur le topic, je poste la solution:

L'équation à résoudre est xy(x+y)=1 avec x,y rationnels.

-On choisit d entier tel que X=dx et Y=dy soient 2 entiers premiers entre eux. L'équation devient alors


Comme X et Y sont premiers entre eux, X,Y et X+Y sont donc 2 à 2 premiers entre eux (pour rep à ostounet: si n divise par ex X et X+Y, alors n divise X et (X+Y)-X=Y donc n=1). Or le produit de ces 3 nombres est un cube donc chaque nombre est un cube.

Il existe ainsi 3 entiers a,b,c tels que , et , ce qui mene à , qui n'a pas de solutions pas Fermat! (à part si abc=0, mais ceci impliquerait d=0, ce qui n'est pas)

Il n'y a donc pas de solutions à l'équation posée.