Aire minimum triangle

[Bombur]

Bonjour,

Je sèche sur un probleme pour mon DM. Voici l'énoncé :

Dans un plan otrhonormé d'unité 1cm. Soit A(1;1). On considère deux points M(a;0) et P(0;b) avec a>1 et b>0 tels que la droite (MP) passe par A.

Déterminer la (les) position(s) de M telle(s) que :
a. l'aire du triangle OMP soit minimale;
b. l'aire du triangle OMP soint inférieure à 10.

J'ai dans un premier temps établit la relation entre a et b pour calculer l'aire en fonction de a. J'obtiens donc :

A=a²/2(a-1)

J'ai développé :
A=-a²/2 + a/2

Seulement si j'utilise la formule pour calculer le sommet de cette fonction j'obtiens :
S=1/2
or a ne peut pas être inférieure à 1 !

J'avoue je sèche un peu la !

[nansyann]

Il faut que tu détermines l'équation de la droite MP en fonction de a et b.
Puis il faut que tu trouves une écrire que vérifie a et b. Pour ce faire, tu vas dire que A(1;1) appartient a MP, tu auras alors la condition suivante : b=a/(a-1).
Ensuite tu calcules l'aire du triangle OMP,
Tu l'exprimes en fonction de a.
Puis tu étudies les variations de ton aire, tu auras une fonction qui dépend que de a.
A(a)=a²((a-1)²+1)/2(a-1)²
Tu dérives, tu fais ton tableau de variation sur ]1;+infini[ car a>1
tu verras que A admet un minimum en a=2, tu en déduiras b=2,
donc l'aire du triangle OMP est minimal pour a=b=2.

Pour la question b, tu utilises le théorème des valeurs intermédiares sur l'intervalle 2;+inf
tu trouveras a, puis b pour que l'aire soit égale à 10

[Bombur]

Il faut que tu détermines l'équation de la droite MP en fonction de a et b.
Puis il faut que tu trouves une écrire que vérifie a et b. Pour ce faire, tu vas dire que A(1;1) appartient a MP, tu auras alors la condition suivante : b=a/(a-1).
Ensuite tu calcules l'aire du triangle OMP,
Tu l'exprimes en fonction de a.

Jusque la je suis d'accord, c'est ce que j'ai trouvé.
A(a)=a²/2(a-1)

Puis tu étudies les variations de ton aire, tu auras une fonction qui dépend que de a.
A(a)=a²((a-1)²+1)/2(a-1)²

Mon developpement est faux mais je n'arrive pas à trouver la meme chose que toi...

Tu dérives, tu fais ton tableau de variation sur ]1;+infini[ car a>1
tu verras que A admet un minimum en a=2, tu en déduiras b=2,
donc l'aire du triangle OMP est minimal pour a=b=2.

J'avais vu sur le net cette histoire de dérivée mais pour le moment on n'a pas vu ça en cours...

[nansyann]

As-tu fais cette étape ??:
Il faut que tu détermines l'équation de la droite MP en fonction de a et b.
Puis il faut que tu trouves une écrire que vérifie a et b. Pour ce faire, tu vas dire que A(1;1) appartient a MP, tu auras alors la condition suivante : b=a/(a-1).

[Bombur]

oui et j'arrive bien à la condition b=a/(a-1)
ce qui me permet d'écrire A=a²/2(a-1)

[nansyann]

Mais l'aire de ton tiangle c'est (a²+b²)/2
=[a²+(a/(a-1))²]/2
=[a²((a-1)²+1)]/[2(a-1)²]

[Bombur]

Mais l'aire de ton tiangle c'est (a²+b²)/2
=[a²+(a/(a-1))²]/2
=[a²((a-1)²+1)]/[2(a-1)²]

J'avoue ne pas te suivre la
L'aire de mon triangle rectangle c'est bien coté*coté/2, donc ab/2 non ?

[nansyann]

Tu as tout à fait raison, j'ai calculer la norme au carré, j'ai simplement oublié de prendre la racine.
L'aire ici c'est bien ab/2 donc a²/2(a-1).

En tout cas, le minimum est toujours atteint en a=2.

[Bombur]

le problème c'est que je n'arrive pas à comprendre comment le trouver ce minimum !

[hammana]

Jusque la je suis d'accord, c'est ce que j'ai trouvé.
A(a)=a²/2(a-1)


Mon developpement est faux mais je n'arrive pas à trouver la meme chose que toi...


J'avais vu sur le net cette histoire de dérivée mais pour le moment on n'a pas vu ça en cours...

Pas besoin de dérivée. La perpendiculaire menée de A à OA coupe Ox en B et Oy en C. La parallèle menée de C à Ox coupe MP en D. Les triangles AMB et ADC sont égaux, l'aire de ACP est supérieure à ABM donc l'aire de OMP est supérieure à OBC. Un raisonnement analogue montrerait que ce résultat reste vrai si M est à droite de B. OBC est donc l'aire minimum.