Développement limité avec exp ln (licence)

[coopers]

bonjour,

je voudrais résoudre l'exercice suivant:

on considère la fonction f de la variable réelle définie par:

f(x)= x exp (1/x) si x appartient à [-infini ;-1]
ln|1+x| si x appartient à ]-1;0[
x(exp(-x)+1) si x appartient [0;+infini[


1) déterminer le domaine de définition de f.

f est définie sur R
2) étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 et en -1

*continuité en 0
lim (qd x tend vers 0-) de ln|1+x|
lim (qd x tend vers 0- )de |1+x|=1- et lim ( qd y tend vers 1-)de ln(y)=0
donc par composition:
lim (qd x tend vers 0-) de ln|1+x|=0

lim (qd x tend vers 0+) de x(exp(-x)+1)= f(0)=0

les limite à gauche et à droite sont égales donc la fonction est continue en 0

*continuité en -1

lim(qd x tend vers -1-) de x exp(1/x)
lim(qd x tend vers -1-) de (1/x) =0 et lim (qd y tend vers 0) de exp(y)=1
d'où par compostion:
lim(qd x tend vers -1-) de exp(1/x)=1 et par produit de limite:
lim(qd x tend vers -1-) de x exp(1/x)= -1


lim ( qd x tend vers -1) de ln|1+x|
lim( qd x tend vers -1) de|1+x|= 0- et lim (qd y tend vers 0+) de ln(y)= -infini

les limites à droites et à gauches sont différentes donc la fonction n'est pas continue et ne peut pas être prolongée par continuité.

*dérivabilité en 0

f'g(x)= 1/(1+x)
f'g(0)= 1


f'd(x)= (exp(-x)+1)- x exp(-x)
f'd(0)=2

les dérivées à gauches et à droite sont différentes donc la fonction n'est pas dérivable en 0

*dérivabilité en -1

f'g(x)= exp(1/x)- (1/x)exp(1/x)
f'g(-1)= 2 exp(-1) = 2/e

f'd(x)= 1/(1+x)
f'd(-1)= -1

les dérivées à gauches et à droite sont différentes donc la fonction n'est pas dérivable en -1


3) étudier les variations de f sur [0;+infini[ on calculera les dérivées premières et seconde et on déduira le signe de f'

Sur [0;+infini[, f(x)=x(exp(-x)+1)
f'(x)= (exp(-x)+1)- x exp(-x)=(exp(x)-x+1)exp(-x)
exp(-x)est strictement positive donc f'(x) est du signe de (exp(x)-x+1)

là je suis bloquée je ne sais pas comment montrer le signe de (exp(x)-x+1)


4) montrer que la courbe représentative de f admet un point d'inflexion en x=2

f"(x)= exp(-x)(x-2)
f"(2)=0 et change de signe donc point d'inflexion


5) à l'aide du développement limité à l'ordre 3 vous donnerez l'équation de la tangente en ce point à la courbe et la position de cette tangente par rapport à la courbe représentative de f.

ici je bloque totalement pour le développement limité,
j'ai commencé en faisant f(x+2)= (x+2)(exp(-x+2)+1) mais ensuite je ne sais plus comment faire et je ne sais pas non plus comment utiliser le développement limité pour donner l'équation de la tangente en ce point à la courbe et la position de cette tangente par rapport à la courbe représentative de f.

6) Montrer que la courbe représentative de f admet une asymptote oblique quand x tend vers moins l'infini.

lim ( qd x tend vers - infini)de( x exp (1/x) )= -infini

ensuite je ne sais pas comment faire...

Je vous remercie par avance pour votre aide.

[homeya]

Bonjour,

L’étude de f en - (ici http://www.lovemaths.fr/etudes/lovemaths-81.pdf) montre que l'asymptote oblique a pour équation y = x + 1.

Cordialement.

[Archibald]

5) à l'aide du développement limité à l'ordre 3 vous donnerez l'équation de la tangente en ce point à la courbe et la position de cette tangente par rapport à la courbe représentative de f.

ici je bloque totalement pour le développement limité,
j'ai commencé en faisant f(x+2)= (x+2)(exp(-x+2)+1) mais ensuite je ne sais plus comment faire et je ne sais pas non plus comment utiliser le développement limité pour donner l'équation de la tangente en ce point à la courbe et la position de cette tangente par rapport à la courbe représentative de f.
[/I]

Bonjour,

Pour faire un DL en un point à un ordre , utiliser la formule de Taylor. Si c'est en , utiliser directement la formule de Taylor_MacLaurin.
En l’occurrence, . On va donc opérer un changement de variable pour pouvoir utiliser les formules usuelles de Taylor-MacLaurin, en posant de sorte que tend vers 0 lorsque tend vers 2.

Ta fonction devient :


Formule de Taylor_MacLaurin :


A noter que : les DL des fonctions usuelles en 0 doivent être appris. Voilà une bonne fiche : http://www.h-k.fr/publications/data/adc.ps__annexes.maths.pdf

le DL d'un produit est le produit des DL, mais en en gardant que les termes de degré inférieur ou égal à l'ordre du DL (donc ici de degré inférieur ou égal à 3).

[coopers]

Merci pour vos réponses. Bonne soirée.

[Black Jack]

3)

f(x) = x(exp(-x)+1)

f'(x) = (exp(-x)+1) - x exp(-x)
f'(x) = (1-x).e^-x + 1 ... et pas ce que tu as écrit.

f''(x) = -(1-x).e^-x - e^-x
f''(x) = e^-x.(x-2)

f''(x) < 0 sur [0 ; 2[ --> f'(x) décroissante.
f''(x) = 0 pour x = 2
f''(x) > 0 sur ]2 ; +oo[ --> f'(x) croissante.

f'(x) est min en x = 2, ce min vaut f'(2) = (1-2).e^-2 + 1 = 0,86... > 0

Et donc f'(x) > 0 sur [0 ; +oo[ ---> f(x) est strictement croissante sur [0 ; +oo[

:zen: