Polynomes dans C, R et Q

[Akali]

Bonjour, j'aimerais avoir un peu d'aide sur quelques polynômes à factoriser sur C et déterminer s'ils sont irréductibles sur R puis sur Q.

1) P(X) = X^2 - 2. Bon là...pas de solution dans C je trouve delta = 8 donc les deux solutions sont -racine(2) et racine(2) donc après factorisation P(x) = (x + racine(2))(x - racine(2)). je veux juste avoir confirmation pour celle-là.
2) Q(X) = X^2 + 2. Ici le delta est négatif tel que delta = -8 = (2i racine(2))^2 donc les deux solutions sont -i racine(2) et i racine(2)..après factorisation on a Q(x) = (x - i racine(2))(x + i racine(2)). Pareil juste une confirmation de votre part
3) R(x) = x^4 - 5x^2 + 6, là j'ai posé X = x^2 donc R(X) = X^2 -5X + 6, delta = 1 donc les deux solutions sont 2 et -2, or x^2 = X, donc les quatre solutions sont racine(2), -racine(2), -i racine(2) et i racine(2). Par contre je sais pas trop comment factoriser celle là.

Merci d'avance
Cordialement Akali,

[Yann64]

Bonjour, j'aimerais avoir un peu d'aide sur quelques polynômes à factoriser sur C et déterminer s'ils sont irréductibles sur R puis sur Q.

1) P(X) = X^2 - 2. Bon là...pas de solution dans C je trouve delta = 8 donc les deux solutions sont -racine(2) et racine(2) donc après factorisation P(x) = (x + racine(2))(x - racine(2)). je veux juste avoir confirmation pour celle-là.
2) Q(X) = X^2 + 2. Ici le delta est négatif tel que delta = -8 = (2i racine(2))^2 donc les deux solutions sont -i racine(2) et i racine(2)..après factorisation on a Q(x) = (x - i racine(2))(x + i racine(2)). Pareil juste une confirmation de votre part
3) R(x) = x^4 - 5x^2 + 6, là j'ai posé X = x^2 donc R(X) = X^2 -5X + 6, delta = 1 donc les deux solutions sont 2 et -2, or x^2 = X, donc les quatre solutions sont racine(2), -racine(2), -i racine(2) et i racine(2). Par contre je sais pas trop comment factoriser celle là.

Merci d'avance
Cordialement Akali,

Bonjour

Déjà, tous les polynômes sont factorisables dans C, c'est un corollaire du théorème de d'Alembert.
pour le 1, c'est bon, sauf qu'il faut se souvenir que R est inclus dans C, alors si le polynôme a des solutions dans R, il a des solutions à fortiori dans C.
pour le 2, c'est bon

pour le 3, (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) avec a = racine(2) b = -racine(2) c = i racine(2) et d = -i racine(2)
pas de problème non plus.

Aucun des polynômes n'est factorisable dans Q.

bon courage

[mcar0nd]

Salut, je suis d'accord pour le 1) et le 2).
Pour le 1), étant donné qu'il y a des solutions dans , il a aussi des solutions dans .
Pour le 3), il faut que tu te souviennes que tout polynômes non constant P se décompose sous la forme où sont les racine du polynômes et k est différent de 0.

EDIT : j'ai été devancé...

[Akali]

J'vous prie de m'excuser, pour la 3) j'ai fais une erreur sur les solutions, c'est 2 et 3, et non 2 et -2, donc au final a = racine(2) b = racine(2) c = racine(3) et d = -racine(3) et après réduction de la factorisation sur R, R(X) = (x^2 - 2)(x^2 - 3)

Merci pour votre réponse !

[mcar0nd]

J'vous prie de m'excuser, pour la 3) j'ai fais une erreur sur les solutions, c'est 2 et 3, et non 2 et -2, donc au final a = racine(2) b = -racine(2) c = racine(3) et d = -racine(3) et après réduction de la factorisation sur R, R(X) = (x^2 - 2)(x^2 - 3)

Merci pour votre réponse !

Tu as oublié un - quand tu donnes les racines a, b, c et d.
Oui, tu peux factoriser comme ça ou tu peux aussi écrire, que .