Probabilité : loi à densité

[spartan]

Bonjour,

J'ai une question à propos d'un exercice niveau Terminale S :

Voici l'énoncé :

Xavier et Yolaine vont tous les lundis à la piscine entre 18 h et 20 h, indépendamment l'un de l'autre.
On appelle X et Y les instants d'arrivée (en minutes après 18 h) de Xavier et Yolaine. X et Y sont assimilés à deux variables aléatoires suivant la loi uniforme sur [0;90].
Chacun reste 30 minutes dans la piscine. Dans cet exercice, on cherche la probabilité que Xavier et Yolaine se rencontrent.

1)a) Xavier arrive à 19 h, dans quel intervalle doit se situer l'instant d'arrivée de Yolaine pour qu'ils se rencontrent et quelle est alors la probabilité qu'ils se rencontrent ?
Ma réponse :
Si Xavier arrive à 19h l’instant d’arrivé de Yolaine doit se situer dans l’intervalle [30 ; 90] pour qu’ils puissent se rencontrer.
La probabilité qu’ils se rencontrent correspond à :
(p(30 ;90))/120=(;)[30 ; 90]1dx)/120=([x][30 ; 90])/120= 60/120= 1/2

b) Question analogue si Yolaine arrive à 18 h 15.
Ma réponse :
Si Yolaine arrive à 19h l’instant d’arrivé de Xavier doit se situer dans l’intervalle [0 ; 45] pour qu’ils puissent se rencontrer.
La probabilité qu’ils se rencontrent correspond à :
(p(0 ;45))/120=(;)[0 ; 45]1dx)/120=([x][0 ; 45])/120= 45/120= 3/8

2) Le plan est muni d'un repère orthonormé. On associe aux variables aléatoire X et Y le point aléatoire M de coordonnées (X;Y). Dessiner l'ensemble (K) formé par les positions de M. Quelle est son aire (en unités d'aire)?
Ma réponse :
J'ai du mal pour cette question ce qui m'empêche de faire la suite de l'exercice.
Dois-je simplement dessiner un carré de 90 de coté, délimité par l'axe des abscisses, des ordonnées et de la droite y= 90 ?

3) Un événement E correspond à un ensemble (E) de points de (K). On admet que P(E)= aire(E)/aire(K), ce qui correspond à une loi uniforme sur l'ensemble (K).
Hachurer l'ensemble (E1) des points de (K) correspondant à l'événement E1 : « Xavier et Yolaine arrivent tous les deux pendant la première demi-heure ». Déterminer P(E1).

4) Montrer que l'événement E2 « Xavier et Yolaine se rencontrent » est l'événement (X;)30YX+30).
Hachurer l'ensemble (E2) des points de (K) correspondant à E2 et calculer son aire. En déduire la probabilité que Xavier et Yolaine se rencontrent.

Quelqu'un peut-il m'expliquer comment dessiner l'ensemble (K), calculer son aire, et me dire si mes résultats à la question 1 sont juste ?

Cordialement,

Spartan.

[spartan]

Bonjour,

Y aurait-il quelqu'un de disponible ?

Cordialement,

Spartan.

[spartan]

Bonjour,

Il n'y a vraiment personne pour me débloquer s'il vous plait ?
Parce que j'ai beau chercher je ne trouve pas.

Cordialement,

Spartan.

[Iroh]

Salut,

pour la question 1a), Yolaine doit bien arriver entre 18h30 et 19h30, donc Y ;) [30,90].

On calcule la probabilité que Y;)[30,90].

P[Y;)[30,90]]
= P[30;)Y;)90]
= P[Y;)90] - P[Y<30]
= P[Y;)90] - P[Y;)30] (car proba continue)
= ;)[-;),90] f(y) dy - ;)[-;),30] f(y) dy (où f est la fct de densité relative à la VA Y)
= ;)[0,90] (1/90) dy - ;)[0,30] (1/90) dy (car f ~ U([0,90]))
= ...

[spartan]

Bonjour,

Je te remercie pour ta réponse.

Je croyais ne pas avoir de problème avec la 1)a et 1)b mais apparement mes calculs sont différents des tiens, mes résultats sont-ils faux ?

[Iroh]

Tu sais dire pourquoi tu divises par 120 ?

Edit: Parce que c'est de là que vient l'erreur.
Tu peux directement faire P[Y;)[30,90]] = ;)[30,90]f(y)dy
Mais pourquoi f(y) vaut 1/120 ?

[spartan]

Tu as raison je n'ai pas pu justifier correctement le 120.

Finalement si je considère f=1/120 cela ne respect plus l'intervalle [0 , 90], j'ai compris mon erreur.

J'essaye de suivre ta démarche mais je ne comprends pas la dernière étape, pourrais tu m'expliquer ?

[Iroh]

De manière générale, si une variable aléatoire Y suit une loi uniforme sur [a,b] (i.e. Y ~ U([a,b])), alors sa fonction de densité f est définie y;);) comme:

Code: Tout sélectionner

f(y) = 1/(b-a) si y;)[a,b]
     = 0       sinon

Ici [a,b] = [0,90]. Donc par exemple:
[-;),30]f(y)dy
= [-;),0]f(y)dy + [0,30]f(y)dy
= 0 + [0,30] (1/90) dy
= 1/3

[spartan]

Je sais qu'une variable suit une loi uniforme sur l'intervalle [a ; b] si sa densité est la fonction f définie sur [a ; b] par f(x)=1/(b-a) donc dans mon cas on les variables aléatoires Y et X suivent une loi uniforme sur [0 ; 90] ([a ; b]).
L'intervalle [30,90] ([d ; c]) est inclus dans [0 ; 90] donc pour calculer la probabilité que Y;)[30,90] il faut que je pose : P(c;)Y;)d)=;)[c;d](1/b-a)dy
Ce qui donne
P(30;)Y;)90)
;)[30;90](1/90-0)dy
[t/90][30;90]
(90/90)-(30/90)
(90-30/90)
2/3

Qu'est ce que j'ai fait de faux pour tomber sur un résultat différent ?

Pourquoi pour pacer de l'étape P[Y;)90] - P[Y<30] à P[Y;)90] - P[Y;)30] on ecrit pas directement Y;)30 ?

[spartan]

J'ai calculé le petit b) alors X;)[0,45] donc :
P(0;)Y;)40)
;)[0;45](1/90)dy
[t/90][0;45]
(45/90)-(0/90)
(45/90)
1/2

[Iroh]

Qu'est ce que j'ai fait de faux pour tomber sur un résultat différent ?

Maintenant ton résultat est correct.

Pourquoi pour pacer de l'étape P[Y;)90] - P[Y<30] à P[Y;)90] - P[Y;)30] on ecrit pas directement Y;)30 ?

{5;)X;)15} = {X;)15} \ {X<5}

et donc P[{5;)X;)15}] = P[{X;)15} \ {X<5}] = P[{X;)15}] - P[X<5]

Mais si X est une Variable aléatoire continue, alors: P[X=5] = P[X;){5}] = [5,5]f(x)dx = 0
donc P[X<5] = P[X<5] + P[X=5] = P[{X<5} {X=5}] = P[{X;)5}]

[spartan]

Je te remercie pour ton aide et tes explications !

Pour la question 2) suffit-il que je dessine un carré de 90 de coté pour représenter l'ensemble K ?

[Iroh]

Pour la question 2) suffit-il que je dessine un carré de 90 de coté pour représenter l'ensemble K ?

Oui, c'est aussi simple que ça.

[spartan]

Et bien merci encore, je pense que la suite de l'exercice ne me posera pas trop de problème.

Bon weekend à toi Iroh,

Spartan.