Loi binomiale/loi de Poisson, démystification de sujet

[adam380]

Bonsoir,

J'aimerai sollicité votre aide sur un sujet donc je ne comprends pas la manière dont procéder.

Voici l'énoncé :
"Votre oncle Luigi gère une hotline de 25 postes à Pondichéry. Il estime à 3 500 le nombre de personnes susceptibles d'appeler par jour (soit 8h), et aimerait connaître la probabilité d'encombrement (c'est-à-dire la probabilité qu'aucune ligne ne soit disponible) en fonction de la durée moyenne des appels. C'est là que vous intervenez. La variable aléatoire égale au nombre de personnes en train de téléphoner à un instant donné suit une loi binomiale, puisqu'a priori les appels sont indépendants les uns des autres.

Vous craignez cependant que le calcul d'une loi binomiale soit trop coûteux en temps, et vous envisagez d'approximer cette loi par une loi de Poisson ; voilà qui est sage. Vous allez donc réaliser un logiciel qui vous permette de tester cela ; en fonction du nombre d'arguments, ce logiciel doit : calculer le coefficient binomial (n k) à partir des valeurs de k et de n, afin de vérifier que ce calcul est correct et aussi rapide que possible, comparer les lois binomiale et de Poisson à partir de la durée moyenne des appels (en secondes), en affichant
1. sur un même graphique, les diagrammes en bâtons représentant les proba-
bilités de recevoir n appels en même temps (pour n compris entre 0 et 50),
pour une loi binomiale et pour une loi de Poisson,
2. pour la loi binomiale, le temps de calcul et la probabilité d'encombrement,
3. pour la loi de Poisson, le temps de calcul et la probabilité d'encombrement.

Pour le calcul des coefficients binomiaux, une méthode naïve donnerait de très mauvais résultats. Il est indispensable d'utiliser un algorithme plus performant."


Ma demande se situe au niveau mathématiques et non au niveau réalisation du logiciel. Je ne comprends pas comment utiliser la loi binomiale avec un facteur temps (ici le nombre de secondes moyen pour un appel). Pour moi la loi binomiale s'effectue comme ceci : (n k) . p^k . (1 - p)^(n-k). Si quelqu'un pouvait me donner une piste pour calculer ces probabilités de recevoir n appels simultanés, je lui en serait grandement reconnaissant.

Bonne Soirée,
Adam.