Demonstration inégalité

[mliebert]

On a la fonction f : [0,1] -> R avec f(x)= -xln(x)-(1-x)ln(1-x) si 0 f(0)=f(1)=0

J'ai montré que : _f est continue sur [0,1] et dérivable sur ]0,1[
_Pour tout x E [0,1], f(x)=f(1-x)
_ axe de symétrie C(1/2,ln2)
_f '(x)=ln(1-x)-ln(x) -2

1er problème: Donner le signe de la dérivée. (J'ai trouvé négatif mais je ne sais pas comment le démontrer: je m'étais ramené au problème ln((1-x)/x)-2<0 mais je ne sais pas comment finir.)
2ème problème: Soient a,b >0 tels que a+b=1. Exploiter les résultats précédents pour démontrer l'inégalité: aln(1/a)+bln(1/b)<= ln(2).

Pour le deuxième problème je me suis ramené à l'inégalité: (a^a)*(b^b)>=1/2 mais je suis dans une impasse.

Voilà, bonne chance à vous, et merci d'avance pour vos réponses.
Cordialement.

[mrif]

On a la fonction f : [0,1] -> R avec f(x)= -xln(x)-(1-x)ln(1-x) si 00 tels que a+b=1. Exploiter les résultats précédents pour démontrer l'inégalité: aln(1/a)+bln(1/b)=1/2 mais je suis dans une impasse.

Voilà, bonne chance à vous, et merci d'avance pour vos réponses.
Cordialement.

Tu as du mal à continuer car tu as fait une erreur dans le calcul de la dérivée.
Je trouve f '(x)=ln(1-x)-ln(x)
Je pense que ton erreur provient de la dérivée de ln(1-x) qui est égale à -1/(1-x) et non pas à 1/(1-x).
f' s'annule pour x = 1/2. Tu trouveras que f admet un maximum que tu utiliseras pour montrer l'inagalité aln(1/a)+bln(1/b)<= ln(2) en posant x = a donc 1-x = b.

edit: voir partie soulignée

[mliebert]

Merci, oui en effet j'avais oublié un signe - dans la dérivée.

[mliebert]

C'est bon j'ai fini cet exercice, merci à mrif