Produit scalaire

par **Nerah** » 27 Mar 2013, 14:11

Bonjour,

J'ai un DM de maths à faire pour mardi prochain ( or n'étant pas là ce week end il faut que je le termine assez rapidement ). Il comporte trois exercices. Premier exercice :

1) Soit un triangle ABC. On se propose de construire le point G tel que vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur 0. ( soit vecteur nul. )
On nomme I le milieu du côté [BC] et J , celui de [AC].

a. Démontrer que le vecteur AG = 2/3 du vecteur AI.
b. Démontrer que le vecteur BG = 2/3 du vecteur BJ.
c. En déduire que G est le centre de gravité du triangle ABC.

2) ABC est un triangle équilatéral de côté 6. On note G son centre de gravité et I le milieu de [BC]
Calculer BC.BG , GA.BC; IG.AC ; AG.BA ; GA.CA. Le tout en vecteurs bien sûr.

3) Soit ABC un triangle tel que AB = 10 ; BC = 6 et AC = 7. On nomme G son centre de gravité. Calculer GA² + GB² + GC².

Pour la question 1 j'avoue que je bloque un peu déjà. J'ai fait une figure sur feuille et j'ai marqué ceci :
I est le projeté de A sur BC et J, celui de B sur AC.
Si on trace BJ et AI ; les droites se coupent en un point ( le point G ? ) qui montre l'égalité mais je ne pense pas que ça suffirait pour répondre aux questions. Il faudrait peut être utiliser la relation de Chasles ? J'avais pensé faire AG.AI mais on n'a pas la longueur AG ni AI donc impossible d'utiliser les normes...

La question 2 j'ai également fait un dessin. Cependant BG , AG ou CG sont inconnus, est-ce qu'on doit alors utiliser le cosinus ?

Question 3 je n'y suis pas encore.

Le deuxième exercice :

Soit deux points, A et B tels que AB = 4. On note I le milieu du segment [AB].

1) Démontrer que pour tout point M du plan, MA² - MB² = 2IM.AB ( IM et AB en vecteurs ).

Alors là j'ai fait ça :

2IM.AB = 2 ( IA + AM ) . ( AM + AB )
= IA . AM + IA.MB + AM.AM + AM.MB
= 0 + 0 + AM² + AN
AM = IM ? je suis bloquée à ce moment, je ne suis même pas sure que ce que j'ai fait soit juste.
IA . AM et IA.MB = 0 car ils sont de sens opposés si on fait une figure.

2) Dans chacun des cas suivants, déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que :

a. MA²-MB² = 16 b. MA²-MB² = -8

Pour ceci je me suis référée à un exercice qu'on avait fait précédemment en classe, ce qui donne :

a. H = projeté de M sur AB. On a alors HA²-HB² = 16. Comme le produit scalaire est positif, H appartient à la demi droite [AB) avec HA = 5 et HB = 3
car 5² - 3² = 16 ( 25-9 = 16).
L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à AB passant par H.

b. H = projeté de M sur AB. On a : HA²-HB² = -8. Le produit scalaire est négatif, donc H n'appartient pas à la demi droite [AB).
On a HA² = 4 et HB² = 12 soit HA = 2 et HB = V12.
L'ensemble des points M est la perpendiculaire à AB avec HA = -2/8 AB et HB = V12/8 AB.

Bon... Je ne sais pas non plus si c'est juste...

Dernier exercice : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Je tiens à signaler avant de commencer, que nous n'avons pas vu cette inégalité en cours mais que c'est prévu pour les jours à venir.

1) Montrer que pour tous vecteurs u et v non nuls ;

| (u.v ) | < ou égal à ||u|| ||v|| . Il n'y a rien entre ||u|| et ||v|| j'en déduis une multiplication?

2) Montrer que | (u.v)| = ||u|| ||v|| si et seulement si u et v sont colinéaires.

Pour cette question , est-ce qu'il ne faudrait pas des coordonnées ? O.O

je suis perdue.. je veux bien aussi que vous m'expliquiez en quoi consiste cette inégalité , ou s'il y a des formules spécifiques à retenir..
Merci à ceux qui voudront bien m'aider !
Bonne journée à tous.

par **siger** » 27 Mar 2013, 16:27

1-
GA + GB + GC = 3GA + AB + AC = 0
mais AB + AC = 2 AI
....
même raisonnement pour BJ
le centre de gravite est au tiers des mediane par defintion....

par **Nerah** » 27 Mar 2013, 16:39

siger a écrit:1-
GA + GB + GC = 3GA + AB + AC = 0
mais AB + AC = 2 AI
....
même raisonnement pour BJ
le centre de gravite est au tiers des mediane par defintion....

D'accord mais comment tu obtiens 3GA+ AB+AC ?

par **siger** » 27 Mar 2013, 16:57

Nerah a écrit:Bonjour,

J'ai un DM de maths à faire pour mardi prochain ( or n'étant pas là ce week end il faut que je le termine assez rapidement ). Il comporte trois exercices. Premier exercice :

1) Soit un triangle ABC. On se propose de construire le point G tel que vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur 0. ( soit vecteur nul. )
On nomme I le milieu du côté [BC] et J , celui de [AC].

a. Démontrer que le vecteur AG = 2/3 du vecteur AI.
b. Démontrer que le vecteur BG = 2/3 du vecteur BJ.
c. En déduire que G est le centre de gravité du triangle ABC.

2) ABC est un triangle équilatéral de côté 6. On note G son centre de gravité et I le milieu de [BC]
Calculer BC.BG , GA.BC; IG.AC ; AG.BA ; GA.CA. Le tout en vecteurs bien sûr.

3) Soit ABC un triangle tel que AB = 10 ; BC = 6 et AC = 7. On nomme G son centre de gravité. Calculer GA² + GB² + GC².

Pour la question 1 j'avoue que je bloque un peu déjà. J'ai fait une figure sur feuille et j'ai marqué ceci :
I est le projeté de A sur BC et J, celui de B sur AC.
Si on trace BJ et AI ; les droites se coupent en un point ( le point G ? ) qui montre l'égalité mais je ne pense pas que ça suffirait pour répondre aux questions. Il faudrait peut être utiliser la relation de Chasles ? J'avais pensé faire AG.AI mais on n'a pas la longueur AG ni AI donc impossible d'utiliser les normes...

La question 2 j'ai également fait un dessin. Cependant BG , AG ou CG sont inconnus, est-ce qu'on doit alors utiliser le cosinus ?

Question 3 je n'y suis pas encore.

Le deuxième exercice :

Soit deux points, A et B tels que AB = 4. On note I le milieu du segment [AB].

1) Démontrer que pour tout point M du plan, MA² - MB² = 2IM.AB ( IM et AB en vecteurs ).

Alors là j'ai fait ça :

2IM.AB = 2 ( IA + AM ) . ( AM + AB )
= IA . AM + IA.MB + AM.AM + AM.MB
= 0 + 0 + AM² + AN
AM = IM ? je suis bloquée à ce moment, je ne suis même pas sure que ce que j'ai fait soit juste.
IA . AM et IA.MB = 0 car ils sont de sens opposés si on fait une figure.

2) Dans chacun des cas suivants, déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que :

a. MA²-MB² = 16 b. MA²-MB² = -8

Pour ceci je me suis référée à un exercice qu'on avait fait précédemment en classe, ce qui donne :

a. H = projeté de M sur AB. On a alors HA²-HB² = 16. Comme le produit scalaire est positif, H appartient à la demi droite [AB) avec HA = 5 et HB = 3
car 5² - 3² = 16 ( 25-9 = 16).
L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à AB passant par H.

b. H = projeté de M sur AB. On a : HA²-HB² = -8. Le produit scalaire est négatif, donc H n'appartient pas à la demi droite [AB).
On a HA² = 4 et HB² = 12 soit HA = 2 et HB = V12.
L'ensemble des points M est la perpendiculaire à AB avec HA = -2/8 AB et HB = V12/8 AB.

Bon... Je ne sais pas non plus si c'est juste...

Dernier exercice : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Je tiens à signaler avant de commencer, que nous n'avons pas vu cette inégalité en cours mais que c'est prévu pour les jours à venir.

1) Montrer que pour tous vecteurs u et v non nuls ;

| (u.v ) | < ou égal à ||u|| ||v|| . Il n'y a rien entre ||u|| et ||v|| j'en déduis une multiplication?

2) Montrer que | (u.v)| = ||u|| ||v|| si et seulement si u et v sont colinéaires.

Pour cette question , est-ce qu'il ne faudrait pas des coordonnées ? O.O

je suis perdue.. je veux bien aussi que vous m'expliquiez en quoi consiste cette inégalité , ou s'il y a des formules spécifiques à retenir..
Merci à ceux qui voudront bien m'aider !
Bonne journée à tous.

exo2
1-Il vaut mieux partir de l'autre membre de l'expression
MA² -MB² est un nombre, c'est donc aussi le produit scalaire de deux vecteurs MA+MB et MA-MB
MA - MB² = (MA + MB).(MA - MB) = (2*MI + IA + IB).(BA)
mais IA + IB = 0
......

2- Il faut utiliser les resultats precedents (attention ecrire HA²-HB²=16 est faux!)
MA²-MB² = 16 = 2*IM.AB
2*IM.AB = 2*IH*AB = 2*|IH|*|AB| = 16
d'ou IH .......

exo3
[u.v| est la valeur absolue d'un produit scalaire
|u.v| = ||u||*||v||*|cos(u,v)|
........

par **siger** » 27 Mar 2013, 16:58

GA + GB + GC = GA + (GA + AB) + (GA + AC) = 3GA + AB + AC

par **Nerah** » 27 Mar 2013, 17:10

[quote="siger"]exo2
1-Il vaut mieux partir de l'autre membre de l'expression
MA² -MB² est un nombre, c'est donc aussi le produit scalaire de deux vecteurs MA+MB et MA-MB
MA - MB² = (MA + MB).(MA - MB) = (2*MI + IA + IB).(BA)
mais IA + IB = 0
......

2- Il faut utiliser les resultats precedents (attention ecrire HA²-HB²=16 est faux!)
MA²-MB² = 16 = 2*IM.AB
2*IM.AB = 2*IH*AB = 2*|IH|*|AB| = 16
d'ou IH .......

IH peut être égal à 2 ou 4, idem pour AB c'est ça? Pour le b. j'ai IH = -2

par **Nerah** » 27 Mar 2013, 17:13

siger a écrit:GA + GB + GC = GA + (GA + AB) + (GA + AC) = 3GA + AB + AC

Où est-ce qu'on peut aller avec ça ? :/ Je pensais faire un produit scalaire , pour voir où il y avait un angle droit avec = 0 et tout ça..

Et d'ailleurs pour l'exercice 3 je comprends rien du tout..

par **siger** » 27 Mar 2013, 18:13

Est-ce que tu reflechis un peu: c'est a dire sans aplliquer des formules au hasard?

Exercice 1
1- on cherche a demontrer que AG = 2*AI/3 a partir de GA + GB + GC = 0
Ou vois-tu un PRODUIT (scalaire ou pas) dans ces equations?
Comme je l'ai deja ecrit
3GA + AB + AC= 0
AB + AC = 2AI
d'ou la relation cherchée!
idem pour BJ
AI ) 2AG/3 est le definition, même du centre de gravité.

2- il faut utiliser le theoreme de Chasles pour faire apparaitre des produits scalaires
-nul si deux vecteurs sont perpendiculaires
-egaux aux produit des normes si les vecteurs sont colineraires
BC.BG = BC.(BI + IC) = BC.BI + BC IG = BC*BI, car BC et BI sont colineaires et BC et IG sont perpendiculaires (mediane = hauteur)
........

par **Nerah** » 27 Mar 2013, 18:37

Oui je réfléchis, la preuve je cherche. Sinon je serai pas là.

par **siger** » 27 Mar 2013, 19:48

Re

Nerah a écrit:Oui je réfléchis, la preuve je cherche. Sinon je serai pas là.

Oh la!
je ne t'accuse pas de ne pas reflechir dans l'absolu:
a-de toutes façons je ne t'accuse de rien, ce n'est pas mon role....
b-je restreignais le mot reflechir a la question posée: pas d'a priori

exemple question 3
S= GA^2+GB^2+GC^2
quelles sont les donnees ?:
on connait les longueurs de AB, AC et BC
on connait G soit par GA+GB+GC=0 ou bien AG = 2(AI)/3 = (AB+AC)/3 et des relations identiques avec BG et CG

on peut donc ecrire
S= (GA+GB+GC)^2 -2*(GA*GB+GA*GC+GC*GB) = 2*(AG*GB+AG*GC+CG*GB)
ce qui peut finalement s'exprimer en fonction de AB, AC et BC'..
....

par **Nerah** » 27 Mar 2013, 19:56

Excuse moi je suis un peu sur les nerfs..

Je n'ai pas de données, tout n'est que littéral et aucune donnée numérique :/
J'ai juste une question encore pour l'exercice 1 quand tu dis " pareil pour BJ "

J'ai essayé de plusieurs manières , notamment GB + GA+ GC = GB ( GB + BA ) + ( GB + BC )
= 3GB + BA + BC = 3GB + AC, mais qui ne mène à rien..

D'autre part en projetant B sur AC ( avec J ) je tombe sur le même résultat, comment est-ce que je pourrai obtenir BG = 2/3 BJ ? ..

par **siger** » 27 Mar 2013, 21:39

tu y es pourtant!
GA + GB + GC = 3GB + BA + BC
avec BA+ BC = 2BJ
.....

remarques:
1- attention BA+BC n'est pas egal a AC, mais on a BA -BC = CA!
2- n'oublie pas la relation souvent tres utile : PQ = (PM + PN)/2 si Q est le milieu de MN

Produit scalaire

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