Mémoire : achat d'une voiture par emprunts ou leasing

[samlebrize]

Bonjour,

En License d'économie et gestion, on nous a demandé de faire notre mémoire sur l'achat d'une voiture selon 3 choix : (sachant que le coût de la voiture est de 30500 € )

emprunt auprès d'une banque en versant 606€ par mois pendant 5 ans

emprunt avec un taux de 6,1% avec remboursement mensuel par amortissement constant pendant 5 ans

opération de leasing en versant 478€ par mois pendant 5 ans avec une option d'achat de 9756€

Questions :
1) pour le premier emprunt, quel est le taux annuel du crédit ? le taux mensuel ? le coût du crédit ?

2) Pour celui a amortissement constant, quelles seront les mensualités ? Quels seront les taux annuels et mensuels équivalents ? Quel sera le coût du crédit ?

3) Sur quelle base peut on comparer les trois modes de financement ?

4) Quel est le financement le plus avantageux ?

Pour la première question, nous avons essayé de calculer le taux sachant que k= capital emprunté,
n= nombre de mensualités, m=mensualité
K=m x ((q-(q^(n+1))/1-q)=30500
la raison de la suite est donc 1/(1+t)
a partir de ce calcul nous avons trouvé l'équation : 30 500 - 31106q +606q^(61) = 0
nous savons mais devons démontrer que cette équation est définie entre 0 et 1 exclus
Nous devons soit utiliser la méthode des approximations successives soit la méthode de Newton, or nous n'arrivons a faire ni l'une ni l'autre.

Merci d'avance pour votre aide !

[Pythales]

Bonjour,

En License d'économie et gestion, on nous a demandé de faire notre mémoire sur l'achat d'une voiture selon 3 choix : (sachant que le coût de la voiture est de 30500 € )

emprunt auprès d'une banque en versant 606€ par mois pendant 5 ans

emprunt avec un taux de 6,1% avec remboursement mensuel par amortissement constant pendant 5 ans

opération de leasing en versant 478€ par mois pendant 5 ans avec une option d'achat de 9756€

Questions :
1) pour le premier emprunt, quel est le taux annuel du crédit ? le taux mensuel ? le coût du crédit ?

2) Pour celui a amortissement constant, quelles seront les mensualités ? Quels seront les taux annuels et mensuels équivalents ? Quel sera le coût du crédit ?

3) Sur quelle base peut on comparer les trois modes de financement ?

4) Quel est le financement le plus avantageux ?

Pour la première question, nous avons essayé de calculer le taux sachant que k= capital emprunté,
n= nombre de mensualités, m=mensualité
K=m x ((q-(q^(n+1))/1-q)=30500
la raison de la suite est donc 1/(1+t)
a partir de ce calcul nous avons trouvé l'équation : 30 500 - 31106q +606q^(61) = 0
nous savons mais devons démontrer que cette équation est définie entre 0 et 1 exclus
Nous devons soit utiliser la méthode des approximations successives soit la méthode de Newton, or nous n'arrivons a faire ni l'une ni l'autre.

Merci d'avance pour votre aide !

Pour la 1ere question, le taux mensuel est exactement de 7,143% et le coût du crédit de 5859,79 euros

[SAGE63]

Pour la 1ere question, le taux mensuel est exactement de 7,143% et le coût du crédit de 5859,79 euros

Bonjour

QUESTION 1 - PREMIER EMPRUNT

QUESTION 1 - A - TAUX MENSUEL ET TAUX ANNUEL (EQUIVALENT)

Soit un emprunt de 30 500 euros sur 5 ans avec des mensualités constantes (de fin de périodes) de 606 euros.

METHODE DES INTERETS COMPOSES - TAUX EQUIVALENT
DETERMINATION DU TAUX

Nous avons les élèments suivants :

Capital départ : V(0) = 30 500,00
Versement periode : A = 606,00
Nombre de périodes : n = 60

On déterminera le taux à partir de la formule suivante

V(0) = A * [ 1 - (1+i););) ] / i
d’où
V(0) /A = [ 1 - (1+i););) ] / i


Dans notre étude on a :

30 500,00 / 606,00 = [ 1 - (1+i)puis -60 ] / i
50,33003 = [ 1 - (1+i)puis -60 ] / i


On peut résoudre cette équation :

a) à l'aide d'une calculatrice "perfectionnée"

b) à l'aide de tables financières

c) Par approximations successives on va déterminer
la valeur de i :

Si l'on a : i = 0,0050000 on a (1+i) = 1,005000
et { 1 -[ (1+i) puissance - n -60 ] } /i est égal à 51,72556

Si l'on a : i = 0,0059000 on a (1+i) = 1,005900
et { 1 -[ (1+i) puissance - n -60 ] } /i est égal à 50,40586

Si l'on a : i = 0,0059500 on a (1+i) = 1,0059500
et { 1 -[ (1+i) puissance - n -60 ] } /i est égal à 50,33392

Si l'on a : i = 0,00595200 on a (1+i) = 1,00595200
et { 1 -[ (1+i) puissance - n -60 ] } /i est égal à 50,33105

Si l'on a : i = 0,00595270 on a (1+i) = 1,0059527
et { 1 -[ (1+i) puissance - n -60 ] } /i est égal à 50,330041

Si l'on a : i = 0,005952705 on a (1+i) = 1,005952705
et { 1 -[ (1+i) puissance - n -60 ] } /i est égal à 50,330034

Le taux mensuel est de 0,005952705 pour 1
soit un taux mensuel de 0,5952705 %

Le taux annuel équivalent est de 0,073818183 pour 1
soit un taux annuel équivalent de 7,381818 %

Le taux annuel équivalent se calcule de la façon suivante

(1+ i mois)¹² = 1,005952705 ¹² = 1,073818183


QUESTION 1 - B - COUT DU CREDIT

Le total des mensualités remboursées est de :
606,00 * 60 = 36 360,00 euros
Montant de l'emprunt 30 500,00 euros
Coût du crédit 5 860,00 euros

[SAGE63]

QUESTION 2 - DEUXIEME EMPRUNT

Soit un emprunt de 30 500 euros sur 5 ans avec des amortissements constants de 606 euros au taux de 6,10 %.

QUESTION 2 - A - LES TAUX

REMARQUE PRELIMINAIRE:
L'énoncé nous indique un taux de 6,10 %. L'énoncé de nous indique pas si c'est un taux ANNUEL ou un taux MENSUEL.
En France, la législation prévoit et punit l'usage des taux USURAIRES.
S'il s'agisait d'un taux mensuel de 6,10 % soit plus de 72 % d'intérêts annuel (en arrondissant) le directeur de l'établissement
financier serait poursuivi par la justice Française…..

On considerera que le taux annoncé de 6,10 % est un taux annuel.
Nous aurons donc un taux mensuel (équivalent) de
(1+ im) ¹² = 1,061
soit
(1+ im) = 1,004946515449
soit taux mensuel équivalent de 0,004946515449 pour 1 par mois
soit taux mensuel équivalent de 0,4946515449 % par mois

QUESTION 2 -B : MONTANT des MENSUALITES

Les modalités de remboursement de cet emprunt prévoient des AMORTISSEMENTS CONSTANTS.

Le montant de chaque amortissement sera de :
30 500,00 / 60 = 508,3333333 euros
Et en pratique :
59 remboursements de 508,33 = 29 991,47
1 remboursement de 508,53 = 508,53
Total remboursé 30 500,00

Pour la suite des calculs nous prendrons comme amortissement constant la somme de 508,3333333 euros.

Si les amortissements sont constants, le montant des mensualités est variable.

a) Détermination du montant de la première mensualité

Le capital restant dû est de 30 500,00
Montant des intérêts
30 500,00 * 0,494651545 % = 150,86872 euros
Montant amortissements 508,33333 euros

Montant de la première mensualité 659,20205 euros

Le capital restant dû est de
30 500,00 - 508,33333 = 29 991,66667 euros

b) Détermination du montant de la deuxième mensualité

Le capital restant dû est de 29 991,6667
Montant des intérêts
29 991,6667 * 0,494651545 % = 148,35424 euros
Montant amortissements 508,33333 euros

Montant de la deuxième mensualité 656,68758 euros

Le capital restant dû est de
29 991,6667 - 508,33333 = 29 483,33333 euros

c) Détermination du montant de la troisième mensualité

Le capital restant dû est de 29 483,3333
Montant des intérêts
29 483,3333 * 0,494651545 % = 145,83976 euros
Montant amortissements 508,33333 euros

Montant de la troisème mensualité 654,17310 euros

Le capital restant dû est de
29 483,3333 - 508,33333 = 28 975,00000 euros

d) et ainsi de suite jusqu'à la soixantième mensualité.

e) Constation :

On constate que le montant des mensualités est en progression arithmétique décroissante de raison :

659,20205 - 656,68758 = 2,5144787
656,68758 - 654,17310 = 2,5144787

Le montant de 2,5144787 est égale au montant de l'amortissement constant soit 508,33333
multiplié par le taux mensuel soit 0,494651545 % ce qui nous donne :
508,33333 * 0,494651545 % = 2,5144787

f) Montant de la 60ème mensualité

Première méthode de calcul :

Suivant la loi des progressions arithmétiques

659,20205 - ( 59 * 2,5144787 ) =
659,20205 -148,3542425 = 510,847812

Le montant de la 60ème mensualité est de 510,847812 euros

Deuxième méthode de calcul

Montant de l'amortissement constant soit 508,333333
60ème et dernier intérêt 2,5144787
(voir question 2- C - b) ci-dessous)
Total de la 60ème mensualité 510,847812

QUESTION 2 - C - COUT DU CREDIT

a) Constation :

On constate que le montant des intérêts mensuels est en progression arithmétique décroissante de raison :

150,86872 - 148,35424 = 2,5144787
148,35424 - 145,83976 = 2,5144787

Le montant de 2,5144787 est égale au montant de l'amortissement constant soit -
multiplié par le taux mensuel soit 0,494651545 % ce qui nous donne :
508,33333 * 0,494651545 % = 2,5144787

b) Montant du 60ème intérêt



Suivant la loi des progressions arithmétiques

150,86872 - ( 59 * 2,5144787 ) =
150,86872 -148,3542425 = 2,5144787

Le montant du 60ème intérêt est de 2,5144787 euros

c) Coût du crédit

Le premier intérêt est de 150,86872
Le 60 ème intérêt est de 2,5144787

Le total des intérêts est de
( 150,86872 + 2,5144787 ) * (60/2)
153,3831999 * 30 = 4 601,4959964

Le coût du crédit est de 4 601,50 euros

[SAGE63]

QUESTION 2 - DEUXIEME EMPRUNT

Soit un emprunt de 30 500 euros sur 5 ans avec des amortissements constants de 606 euros au taux de 6,10 %.

QUESTION 2 - A - LES TAUX

REMARQUE PRELIMINAIRE:
L'énoncé nous indique un taux de 6,10 %. L'énoncé de nous indique pas si c'est un taux ANNUEL ou un taux MENSUEL.
En France, la législation prévoit et punit l'usage des taux USURAIRES.
S'il s'agisait d'un taux mensuel de 6,10 % soit plus de 72 % d'intérêts annuel (en arrondissant) le directeur de l'établissement
financier serait poursuivi par la justice Française…..

On considerera que le taux annoncé de 6,10 % est un taux annuel.
Nous aurons donc un taux mensuel (équivalent) de
(1+ im) ¹² = 1,061
soit
(1+ im) = 1,004946515449
soit taux mensuel équivalent de 0,004946515449 pour 1 par mois
soit taux mensuel équivalent de 0,4946515449 % par mois

QUESTION 2 -B : MONTANT des MENSUALITES

Les modalités de remboursement de cet emprunt prévoient des AMORTISSEMENTS CONSTANTS.

Le montant de chaque amortissement sera de :
30 500,00 / 60 = 508,3333333 euros
Et en pratique :
59 remboursements de 508,33 = 29 991,47
1 remboursement de 508,53 = 508,53
Total remboursé 30 500,00

Pour la suite des calculs nous prendrons comme amortissement constant la somme de 508,3333333 euros.

Si les amortissements sont constants, le montant des mensualités est variable.

a) Détermination du montant de la première mensualité

Le capital restant dû est de 30 500,00
Montant des intérêts
30 500,00 * 0,494651545 % = 150,86872 euros
Montant amortissements 508,33333 euros

Montant de la première mensualité 659,20205 euros

Le capital restant dû est de
30 500,00 - 508,33333 = 29 991,66667 euros

b) Détermination du montant de la deuxième mensualité

Le capital restant dû est de 29 991,6667
Montant des intérêts
29 991,6667 * 0,494651545 % = 148,35424 euros
Montant amortissements 508,33333 euros

Montant de la deuxième mensualité 656,68758 euros

Le capital restant dû est de
29 991,6667 - 508,33333 = 29 483,33333 euros

c) Détermination du montant de la troisième mensualité

Le capital restant dû est de 29 483,3333
Montant des intérêts
29 483,3333 * 0,494651545 % = 145,83976 euros
Montant amortissements 508,33333 euros

Montant de la troisème mensualité 654,17310 euros

Le capital restant dû est de
29 483,3333 - 508,33333 = 28 975,00000 euros

d) et ainsi de suite jusqu'à la soixantième mensualité.

e) Constation :

On constate que le montant des mensualités est en progression arithmétique décroissante de raison :

659,20205 - 656,68758 = 2,5144787
656,68758 - 654,17310 = 2,5144787

Le montant de 2,5144787 est égale au montant de l'amortissement constant soit 508,33333
multiplié par le taux mensuel soit 0,494651545 % ce qui nous donne :
508,33333 * 0,494651545 % = 2,5144787

f) Montant de la 60ème mensualité

Première méthode de calcul :

Suivant la loi des progressions arithmétiques

659,20205 - ( 59 * 2,5144787 ) =
659,20205 -148,3542425 = 510,847812

Le montant de la 60ème mensualité est de 510,847812 euros

Deuxième méthode de calcul

Montant de l'amortissement constant soit 508,333333
60ème et dernier intérêt 2,5144787
(voir question 2- C - b) ci-dessous)
Total de la 60ème mensualité 510,847812

QUESTION 2 - C - COUT DU CREDIT

a) Constation :

On constate que le montant des intérêts mensuels est en progression arithmétique décroissante de raison :

150,86872 - 148,35424 = 2,5144787
148,35424 - 145,83976 = 2,5144787

Le montant de 2,5144787 est égale au montant de l'amortissement constant soit -
multiplié par le taux mensuel soit 0,494651545 % ce qui nous donne :
508,33333 * 0,494651545 % = 2,5144787

b) Montant du 60ème intérêt



Suivant la loi des progressions arithmétiques

150,86872 - ( 59 * 2,5144787 ) =
150,86872 -148,3542425 = 2,5144787

Le montant du 60ème intérêt est de 2,5144787 euros

c) Coût du crédit

Le premier intérêt est de 150,86872
Le 60 ème intérêt est de 2,5144787

Le total des intérêts est de
( 150,86872 + 2,5144787 ) * (60/2)
153,3831999 * 30 = 4 601,4959964

Le coût du crédit est de 4 601,50 euros

QUESTION 2 BIS (non posée) - FINANCEMENT PAR LEASING

Versement mensuel de 478 euros pendant 5 ans et option d'achat de 9 756 euros.

On remarque que pour ce mode de financement AUCUNE question n'est posée.

Il sera fait la remarque suivante : pour l'option d'achat de 9 756 euros, il n'est pas précisé la date de
versement qui peut être :
* soit un mois après le paiement du 60 ème et dernier loyer
* soit en même temps que le paiement du 60 ème et dernier loyer.

FAUTE de précision dans l'énoncé l'hypothèse suivante sera retenue dans la présente étude :
l'option d'achat est payée en même temps que le 60ème et dernier loyer de 478 euros.

QUESTION 2 BIS - A - (non posée) - COUT DU FINANCEMENT

Ce financement se traduit :
* par 59 versements mensuels de 478,00 = 28 202,00 euros
* par 1 versement mensuel final de 10 234,00 = 10 234,00 euros
Montant total remboursé 38 436,00 euros
pour un financement au départ de 30 500,00 euros
Coût du financement 7 936,00 euros

QUESTION 2 BIS - B - (non posée) - LES TAUX

Nous allons effectuer les mêmes calculs pour de mode de financement
sous forme de LEASING en utilisant les mêmes règles que celles
d'un EMPRUNT INDIVIS REMBOURSE PAR VERSEMENTS CONSTANTS SAUF LE DERNIER.

Nous aurons donc :

a) 59 versements constants de 478 euros

La valeur actuelle d'une suite de versements constants pendant "n" périodes, encore appelée
le capital remboursé par une suite de versements constants nous est donnée par la
formule suivante :

valeur actuelle = a * {1 -[ (1+i););) ] } / i

avec :
a = 478
n = 59
i = taux mensuel équivalent à calculer

valeur actuelle = 478,00 * {1 -[ (1+i);););) ] } / i

b) 1 versement effectué au bout de 60 mois de 10 234,00 euros

valeur actuelle = 10 234,00 * (1+i) ;);)

C) soit l'équation suivante

30 500,00 = [ 478,00 * {1 -[ (1+i);););) ] } / i ] + [ 10 234,00 * (1+i) ;);) ]

Pour résoudre ce type d'équation on a :

1- soit l'utilisation de calculatrices "perfectionnées"
2 - soit la méthode des approximations successives.

Par la méthode des approximations successives le
taux mensuel équivalent est de 0,631288601 %
soit un taux mensuel équivalent est de 0,00631288601 pour 1

A titre de vérification on a l'équation :

valeur actuelle = = [ 478,00 * {1 -[ (1+i);););) ] } / i ] + [ 10 234,00 * (1+i) ;);) ]

avec
i = 0,006312886
1+i = 1,006312886
(1+i);););) = 0,689844169
(1+i) ;);) = 0,685516581

on a :

valeur actuelle = [ 478 * { 1 - 0,689844169 } / 0,006312886 ] + [ 10 234,00 * 0,685516581 ]
valeur actuelle = [ 478 * 0,310155831 / 0,006312886 ] + [ 7 015,58 ]
valeur actuelle = [ 148,2544874 / 0,006312886 ] + [ 7 015,58 ]
valeur actuelle = 23484,42332 + 7 015,58
valeur actuelle = 30 500,00

Le montant de l'emprunt est bien de 30 500 euros.

Le financement par leasing a été effectué au taux suivant :

Le taux mensuel équivalent est de 0,006312886 pour 1.
soit un taux mensuel équivalent de 0,631288601 %.

Le taux annuel équivalent nous est fourni par la formule
(1+i)¹² = 1,006312886 ¹² = 1,078441042
soit un taux annuel équivalent de 0,078441042 pour 1.
soit un taux annuel équivalent de 7,844104184 %.


QUESTION 3 - BASE DE COMPARAISON

On comparera les trois modes de financement suivant les taux des crédits calculés ci-dessus.

QUESTION 4 - LE MODE DE FINANCEMENT LE PLUS AVANTAGEUX

Le mode de financement qui propose le taux annuel le plus avantageux est………….

Le mode de financement qui propose le coût du crédit le plus avantageux est……….

En conclusion il faut choisir……………………………….