Probabilité (corrigé ... rien compris)

[julien56]

Bonjour,

voilà l'ennoncé qui me pose problème :)

Exercice 12:

Un trousseau de n clés contient une seule clé pouvant ouvrir une porte donnée. Une personne tente d'ouvrir cette porte en essayant tour à tour les diverses clés du trousseau jusqu'à ce qu'elle tombe sur la bonne. On note X le nombre d'essais nécessaires pour ouvrir la porte.
Déterminer la loi de X dans les cas suivants:

1) la personne n'essaie jamais d'ouvrir avec une clé qu'elle a déjà essayé en vain.
2) La personne n'a pas de mémoire et ne tient jamais compte des essais précédents.
3) La personne n'a qu'une mémoire limitée et fait chaque essai avec n'importe quelle clé autre que celle qu'elle vient d'essayer immédiatement en vain.

1) Alors, la réponse est

1/(n-2) * (n-2)/(n-1) * (n-1)/ n = 1/n

Somme de k = 1 jusqu'à n => k * 1/n = n+1/2

2) (n-1/n)^(k-1) * 1/n

3) (n-2/n-1)^k-2* 1/n

Je n'arrive vraiment pas à voir comment on arrive à obtenir ces résultats ... En esperant que quelqu'un pourra m'aider ...

Bonne soirée =)

[Sylviel]

Bonjour,

je te fais le premier avec détails

1) l'evenement {X=k} c'est :
- la personne n'a pas trouvé la bonne clé la première fois (A1)
- ET la personne n'a pas trouvé la bonne clé la 2nde fois (A2)
- ET ...
- ET la personne n'a pas trouvé la bonne clé la k-1ème fois (Ak-1)
- ET la personne trouve la bonne clé la kème fois. (Bk)
Le premier évènement a une proba (n-1)/n car :
-> n-1 cas favorables (clés qui ne marche pas)
-> n cas total
le second évènement a une proba (n-2)/(n-1) car :
-> n-2 cas favorables (clés qui ne marche pas)
-> n-1 cas total
etc...
l'évènement Ak-1 a une proba (n-(k-1)-1)/(n-(k-1))=(n-k)/(n-k+1)
l'évènement Bk a pour proba 1/(n-k) car il y a 1 cas favorable et il reste n-k clé.
Maintenant il faut multiplier les probas de tout ces évènement pour trouver la proba de lévènement {X=k}

P.S : je crois que je me suis un peu trompé dans les indices, mais le raisonnement est juste.
Le cas 2 sera plus simple a traiter mais suis la même démarche.

[nuage]

Salut.

Pour le cas 1) la réponse est évidement que X suit une loi uniforme sur {1,...,n} :
on a n positions possibles pour la bonne clef, et on en prend une avec équiprobabilité.

Pour le cas 2) on a tout aussi évidement une loi géométrique de paramètre 1/n :
la proba de réussite est 1/n et les essais sont indépendants (pas de mémoire).

Le cas 3) est un peu plus compliqué, mais, sans certitude, je penche pour une loi géométrique.