Injectivité, surjectivité

[Zazz]

Bonsoir,
J'ai un DM à rendre cette semaine et j'aurai besoin de votre aide.
J'ai une fonction de R dans R définie par f(x) = x + 1/2|x|.
Je dois montrer, par le calcul, que f(x) est bien injective, puis (demandé après) surjective.
Après avoir fait un graphe je vois bien que pour tous f(x) la fonction n'admet qu'un antécédent, mais j'avoue avoir du mal avec la manipulation de la valeur absolue.
J'ai essayé de faire f(x) = f(y) <=> x + 1/2|x| = y + 1/2|y| <=> 2(x - y) = |y| - |x| ... mais je n'arrive pas prouver que x = y ... :mur:
Si vous pouviez m'éclairer...

[raph107]

Tu écris f(x) = (3/2)x si x >= 0 et f(x) = (1/2)x si x <= 0 et les choses deviennent simples en remarquant que f(x) est du signe de x, donc si f(x) = f(y) alors x et y sont de de même signe.

[Zazz]

[quote="raph107"]Tu écris f(x) = (3/2)x si x >= 0 et f(x) = (1/2)x si x 0 et x<0 et c'est fini).

Pour la surjectivité, comment dire que pour tous m il existe un x correspondant tel que f(x) = m ??
La je ne vois pas du tout ...

[raph107]

Tu as f(x) = (3/2)x si x est positif donc pour x>= 0, f(x) et x sont de même signe, et pour x <= 0 tu as f(x) = (1/2)x donc f(x) et x sont de même signe.

Pour la surjectivité, tu utilises la même remarque: si y, a un antécédent alors il est du même signe que y.

[Zazz]

Donc si je comprend bien :

Soit f(x) = x + 1/2|x| une application de R dans R
On remarque que :
- Lorsque x >= 0, f(x) = 3x/2 (f(x) et x sont de mêmes signes)
- Lorsque x x + 1/2|x| = y + 1/2|y|
2(x - y) = |y| - |x|

Si x et y positifs :
2(x - y) = y - x
x - y = 0
x = y

Si x et y négatifs :
2(x - y) = - y + x
2x - 2y = - y + x
x - y = 0
x = y

La fonction f est bien injective.

Surjectivité :
f(x) = m (x et m de mêmes signes)
x + 1/2|x| = m

Si m et x positifs :
3x/2 = m
x = 2m/3 (une seule image)

Si m et x négaifs :
x/2 = m
x = 2m (une seule image)

La fonction f est bien surjective.

Est ce que ce raisonnement est sans erreurs ?

[raph107]

Oui c'est bon. Pour la surjectivité, il n'est pas nécessaire de préciser que l'antécédent est unique.

[Zazz]

Oui c'est bon. Pour la surjectivité, il n'est pas nécessaire de préciser que l'antécédent est unique.

Merci beaucoup ! Pourriez-vous m'aider pour une derniere question ?

Soit f : {0,1,2,...,2013} -> {0,1,2,...,2012}
Je dois dire combien existe-t-il de "telles" applications f et démontrer que f n'est jamais injective.
Je ne comprend absolument rien à cela.

[raph107]

Pour simplifier l'ecriture, appelons A l'ensemble de départ et B l'ensemble d'arrivée.Comment définir une application f de A dans B? par les images des éléments de A donc une application f correspond à un élément du produit cartésien BxBx....xB, n fois où n est le nb d'éléments de A. Je te laisse trouver le résultat. Si tu n'es pas à l'aise avec le produit cartésien, fais un arbre.

Si f était injective alors elle bijective de A dans f(A) qui est inclus dans B, on en déduirait que card(B) >= card(A) ce qui n'est pas possible puisqque card(A) = 2014 et card(B) = 2013.