Probabilité !

[joselechaud]

coucou, j'ai un exo qui parait bete mais plus j'y reflechi plus je m'embrouille

2 jouers A et B lancent chacun n pieces de monnaie, la probabilité de tirer face est pour chaque piece p=1/2 (jusqu'a la tt va bien !!)

Soit X le nombre de faces tirées par A
Y B

Calculer les probabilités de evenements :

X=Y ; X strictement supérieur à Y

[mpo]

pour tout k de N, on a :

P(X=Y=k) = P(X=k et Y=k) = P(X=k) P(Y=k) car X et Y sont indépendantes puisque le tirage du joueur A est independant de celui du joueur B
avec X et qui suivent une Binomiale de paramètres (n,p=1/2)

[mpo]

P(Y=k et X>k) = P(Y=k) P(X>k) toujours par indépendance de X et Y

avec P(X>k) égal à :

[aviateurpilot]

on a et
donc

[alben]

Bonsoir,
La proba que X=Y est donnée par

On peut s'en convaincre en réunissant les deux tirages après avoir inversé les résultats

[aviateurpilot]

si l'important pour nous c'est le nombre de face tirés voila la solution ,sauf si c'est mon jour
chaque joueur a possibilité
tirer face.
par suite le nombre de possiblité pour les resultats des deux joueur est
pour X=Y, il a possibilité,
donc P(X=Y)=(nombre de possiblité pour avoire X=Y)/(nombre de possibilité totale)=

[tize]

chaque joueur a n+1 possibilité
tirer 0,1,2,...,n-1 \ ou \ n face.
par suite le nombre de possiblité pour les resultats des deux joueur est (n+1)^2

Ba oui mais il me semble bien que ces possibilités ne sont pas équiprobables, on a plus de chance d'avoir un résultat proche de n/2 que de 0 par exemple (n>4) et on ne peut pas alors se contenter de dénombrer les cas d'égalité comme tu le fais, non ?

[aviateurpilot]

non, il y a une équiprobabilité.

la probabilité de tirer face est pour chaque piece p=1/2

[Sdec25]

C'est la même chose que C(n, 2n) / 4^n (post d'alben) mais est-ce que quelqu'un sait le montrer ?

[aviateurpilot]

tu as trouvé ça
et tu ne peux pas le montrer
c'est bezard :hein:

[joselechaud]

enfin aviateur pilot reflechit un peu a l'absurdité de ton raisonnement !!

[joselechaud]

je pense que sdec 25 est sur la bonne voie mais est ce que tu peux expliquer plus precisement ton raisonnement

[Sdec25]

mon raisonnement :

pour tout k de N, on a :

P(X=Y=k) = P(X=k et Y=k) = P(X=k) P(Y=k) car X et Y sont indépendantes puisque le tirage du joueur A est independant de celui du joueur B
avec X et qui suivent une Binomiale de paramètres (n,p=1/2)

Comme l'a dit mpo on a P(X=Y=k) = (P(X=k))²

Tous les cas où X=Y sont : X=Y=0, X=Y=1, ... X=Y=n
La probabilité P(X=Y) est la somme des probabilités P(X=Y=1) + P(X=Y=2) + ... + P(X=Y=n), c'est-à-dire somme des P(X=Y=k) pour toutes les valeurs de k.

[alben]

Le raisonnement est très simple :
A tire x faces et n-x piles
B tire y faces et n-y piles
J'inverse les résultats de B en transformant les piles en face et vice versa
On est bien d'accord sur le fait que la proba de tirer y face pour B est identique à celle de tirer n-y face.
Maintenant je réunis les résultats (après inversion):
le nombre total de piles sera n-x+y et celui de faces n-y+x
Pour satisfaire ma condition, il faut que x=y, ce qui correspond à un tirage global de n piles ou faces sur 2n.
On peut présenter ça autrement....
Sans inversion : Prob(Y=y)=Prob(Y=n-y)=Prob(N-Y=y)
On réécrit le problème : A lance n pièces et obtient x faces. Ensuite B lance n pièces. Quelle est la probabilité qu'il obtienne n-x faces.
C'est bien sur la même chose qu'un seul tirage qui donne n face :id:

[tize]

non, il y a une équiprobabilité.
la probabilité de tirer face est pour chaque piece p=1/2

Bonsoir aviateur,
quand je dis qu'il n'y a pas équiprobabilité et donc que ta méthode ne marche pas, il ne s'agit évidement pas de la probabilité d'avoir pile ou face (bien sur c'est 1/2). Je te parle de la probabilité d'avoir par exemple 3 faces sur les n tirage n'est pas du tout la même que d'avoir 10 faces sur les n tirages. Et donc quand tu denombres les cas :

chaque joueur a n+1 possibilité tirer 0,1,2,...,n-1 \ ou \ n face.
par suite le nombre de possiblité pour les resultats des deux joueur est (n+1)^2
donc P(X=Y)=(nombre de possiblité pour avoire X=Y)/(nombre de possibilité totale)=

tu omets le fait que ces évènements ne sont pas équiprobables (P(X=Y=0) P(X=Y=2) par exemple) et tu ne peux pas alors te contenter de les dénombrer comme tu l'as fait...

[joselechaud]

ok merci a tous j'ai compris

[aviateurpilot]

Bonsoir aviateur,
quand je dis qu'il n'y a pas équiprobabilité et donc que ta méthode ne marche pas, il ne s'agit évidement pas de la probabilité d'avoir pile ou face (bien sur c'est 1/2). Je te parle de la probabilité d'avoir par exemple 3 faces sur les n tirage n'est pas du tout la même que d'avoir 10 faces sur les n tirages

merci tize, j'ai compris mtn

enfin aviateur pilot reflechit un peu a l'absurdité de ton raisonnement !!

oups, tu n'as rien dit !!
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si l'important pour nous c'est le nombre de face tirés voila la solution ,

moi j'ai supposer que: car dans les 2 cas le nombre de face est 1.
sinon la solution de Sdec25 est vraie

[alben]

Petit complément :
On peut retrouver assez simplement le passage de
il faut établir la formule plus générale
en développant en appliquant la formule du binôme à chacun des trois termes
Puis en regroupant des termes selon le degré de u dans le premier membre
Et enfin en identifiant les termes de même degré
Il suffit ensuite de faire m=n=p et d'utiliser la relation

[aviateurpilot]

en utilisant la formule
sur la combinaison
(1er fois) en va la trouve sous forme d'une somme de 2 combinaisons ()
(2eme fois)et en utilse cette formule pour retrouver la combinaison initial sous forme d'une de 3 combinaison( )
(3eme fois)

...
...
(n fois)
...
...
(n-eme fois)
si on pose et on trouve:

[mpo]

Merci à Sdec25 d'avoir complété ma réponse ... (je pensais que josélechaud continuerait le travail)