Exercice inégalité de fonction logarithme népérien

[Matheux06]

Bonjour,
Je suis nouveau et j'ai un exercice à faire mais je n'y arrive pas du tout. Le voici :

Montrer que pour tout x>0,


Je vous demande donc de l'aide

Cordialement

[Cheche]

Est-ce que tu connais le théorème des accroissements finis ?
Si Oui, tu l'appliques et tu vas avoir trivialement le résultat demandé.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_accroissements_finis

[Matheux06]

Non, jamais entendu parler désolé

[Joker62]

Hello !

Sinon tu intègres la fonction f(t) = 1/t entre x et 1+x

[Matheux06]

Salut,
J'ai pas vu es intégrations non plus ^^'

[Cheche]

Concavité de la fonction ln ?

[Matheux06]

Non plus, vous commencez à me faire peur.

[Joker62]

Dans ce cas là, un dessin.

Tu dessines ln

Tu prends un point A de la courbe d'abscisse x
Tu prends un second B de la courbe d'abscisse 1+ x

Tu traces (AB)

Tu calcules son coeff directeur
Tu compares avec les coefficients directeurs de la courbe en x et en 1+x et c'est fini.

[Matheux06]

Un dessin me paraît louche, je vais demander à mon prof de maths demain et je vous dirais ça :)

[Joker62]

Sinon tu peux toujours étudier ln(1+(1/x)) - 1/(1+x)
dériver, faire un tableau de variations et vérifier que c'est positif.

Mais c'est long

Avec le dessin, c'est assez clair même si pas très rigoureux :)

[Matheux06]

Je pense que la dernière technique que tu viens d'énoncer est la bonne, je vais tenter ;)

[Matheux06]

Bonsoir,
J'ai donc effectué un raisonnement à l'aide des positions relatives, je voudrais votre avis pour savoir s'il est juste.
J'ai coupé l'inégalité en 2, ce qui m'a permis d'obtenir 2 fonctions :

et
En dérivant et en étudiant le signe des 2 fonctions, f(x) est positive sur [0;+oo[ ce qui me permet de dire que la courbe de est en dessous de celle de .
J'ai fait la même chose avec g(x), elle est positive sur [0;+oo[ donc la courbe de est en dessous de celle de
Donc l'inégalité est vérifié.

J'ai sauté plein d'étapes (tableaux...) car c'est long à écrire sur le forum mais je voulais savoir si c'était juste ?

Merci

[Joker62]

Bonsoir,

Oui c'est comme ça qu'il faut faire.
Dériver, étude de signe etc... :)