[TS] Integrale et Exponnentiel

[gohan59750]

Bonjour ! Pour demain j'ai un exercice de maths à faire, mais je ne comprends vraiment pas grand chose. Si vous pouviez m'aider ? Je vous laisses l'ennoncé (Je bloque sur la question 4 7 8 9 10) !

On considére la suite (Un) definie pour n Appartenant à * par :

Un =

On appelle f la fonction définie sur [0;2] par :
f(t) =

1. Etudier les variation de f sur [0;2]
f(x) = (2t+3)/(t+2)

f'(x) = u'v-uv' / v²

=2(t+2) - (2t+3)1 / (t+2)²
=(2t+4-2t-3)/(t+2)²
=1/(t+2)²

Donc on a :

x.........../ -......................+

1........../.............+
(t+2)²../.............+
f'(x)...../.............+
f........../.......CROISSANT.

Or f est croissant sur R donc il l'est sur [0;2]

2. Justifier que t appartenant à[0;2] on a 3/2 f(t) 7/4
On sait que f est strictement croissant sur [0;2] or f(0) = 3/2 et f(2) = (7/4) donc on a f(0) f(t) f(2) 3/2 f(t) 7/4


3. Puis que t * on a 3/2 exp(t/n) f(t) exp(t/n) 7/4 exp(t/n)
On sait que la fonction exp est strictement croissant et positive sur donc :
3/2 f(t) 7/4
3/2 f(t) exp(t/n) 7/4
3/2 exp(t/n) f(t) exp(t/n) 7/4 exp(t/n)

4. Montrer que n * on a :
(3/2)n * (exp(2/n) -1)Un(7/4)n * (exp(2/n) -1)

Je ne sais pas ?

5. Montrer que, si (Un) converge vers une limite L alors on a 3L7/2
(On rappelle que )

(3/2)n * (exp(2/n) -1)Un(7/4)n * (exp(2/n) -1)
(3/2) * (exp(2/n) -1)/nUn/n(7/4) * (exp(2/n) -1)/n

Or = 1 et Un qui converge vers L donc :

3/2 L/n 7/4

Or n [0;2], on prends n=2 puisqu'on cherche la limite. On a donc

3/2 * 2 L/2 * 2 7/4 * 2
3L7/2

6. Verifier que t [0;2] f(t)=2-(1/t+2)
il suffit de verifier donc je peux prendre des valeurs ou ça ne justifira pas ?

Dans ce cas pour 2 on a :
(2t+3)/(t+2) = 7/4 = 1.75
2-(1/t+2) = 2 - (1/4) = 1.75
Donc 2-(1/t+2) = (2t+3)/(t+2) = f(t)
Pour 1 on a :
(2t+3)/(t+2) = 5/3
2-(1/t+2) = 2 - (1/3)
Donc 2-(1/t+2) = (2t+3)/(t+2) = f(t)
Pour 0 on a :
(2t+3)/(t+2) = 3/2
2-(1/t+2) = 3/2
Donc 2-(1/t+2) = (2t+3)/(t+2) = f(t)

Ainsi l'egalité est verifié.


7. En deduire la forme générale des primitive de f puis calculer I=

8. Justifier que t [0;2] on a : 1exp(t/n)exp(2/n)

9. Montrer que n * IUn I

10. Montrer que la suite (Un) est convergente et donner sa limite.

Voilà je vous remercie par avance de vos réponses !

[chan79]

salut
pour la 4
tu sais que sur [0;2], on a 3/2 e^(t/n)< e^(t/n) f(t) <e^(t/n) 7/4

donc



Tu intègres et tu tombes sur le résultat demandé

Pour la 6, ça ne suffit pas de prendre des valeurs, même si tu en prends beaucoup ...
Il faut transformer une des deux expressions pour trouver l'autre

[gohan59750]

salut
pour la 4
tu sais que sur [0;2], on a 3/2 e^(t/n)< e^(t/n) f(t) <e^(t/n) 7/4

donc



Tu intègres et tu tombes sur le résultat demandé

Pour la 6, ça ne suffit pas de prendre des valeurs, même si tu en prends beaucoup ...
Il faut transformer une des deux expressions pour trouver l'autre

Bonsoir ! Je n'ai jamais compris comment integré ? Pourriez vous m'eclairez un peu ? Il y a des formules mais je sais jamais laquelle utiliser ?

[chan79]

Bonsoir ! Je n'ai jamais compris comment integré ? Pourriez vous m'eclairez un peu ? Il y a des formules mais je sais jamais laquelle utiliser ?

une primitive de e^(t/n) est n.e^t/n)

[gohan59750]

une primitive de e^(t/n) est n.e^t/n)

Donc
Un

Un

Un

Mais je n'arrive pas à rejoindre le resultat demandé ?