avez-vous, à epsilon fixé arbitrairement petit, un exemple de variables aléatoires réelles continues X et Y telles que :
- , -
Je trouve facilement des exemples dans le cas où X et Y sont discrètes mais je peine à en trouver des continues pas trop moches.
Edit : Pour la petite histoire, la question vient du problème suivant :
Deux voitures A et B se font la course sur un circuit. On sait que pour chaque temps t, A a plus de chance de finir la course en un temps inférieur à t que B. Peut-on en déduire que A a plus de chance de gagner que B?
En prenant des variables discrètes pas trop compliquées à construire, on peut exhiber des cas où la probabilité que A gagne est aussi petite que l'on veut. Mais quid du cas continu?
Voici mon idée première que je n'arrive pas à concrétiser :
Je souhaitais voir X et Y comme des coordonnées dans le carré unité, ce qui revient à choisir deux distributions dans [0,1]. Il s'agirait donc de construire un sous-ensemble K de couples (X,Y) du carré unité qui vérifierait nos hypothèses.
L'hypothèse P(X < t) > P(Y < t) se traduit par : pour tout t, l'aire de K située à gauche de x=t est supérieure à l'aire de K située à droite de y=t.
L'hypothèse P(X Mais ceci étant dit, je n'arrive pas à construire de telle figure.
Bonjour Night,
le problème des voitures, tu l'avais exposé il ya 1 ou 2 ans.
Il y avait eu des discussions sur savoir si les tirages de temps étaient indépendants où liés,
mais par contre je n'ai pas le souvenir des conclusions
comme je semble le comprendre de vos discussions maths.
En langage maths je comprends pas bien,
peux-tu repartir des voitures et dire les conclusions,
et donner un exemple.
Merci.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
Bon, alors si ma mémoire ne fait pas défaut.
tirages indépendants des temps de course c'est impossible.
Par contre tirages liés cela devient possible.
ce qui explique l'idée des couples x,y de Night.
Mais cela ne résume pas le cas continu, car l'idée d'un x un seul y est très limitatif comme liaison,
le continue serait tout autant de lier des x à des segments, des x à des distributions de segments, non Night?
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
Donc tu prends tes exemples en valeurs discrètes,
ces valeurs discrètes sont la moyenne de courbes de gauss par exemple,
Tu sommes les gauss qui donnent la distribution des temps de A et idem pour B.
Chaque couple de gaussienne qui était un couple de valeur discrète correspondant à un circuit donné avec les conditions météos données.
Non?
Enfin pour les voitures.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
Le problème avec les chercheurs du site, on voit qu'ils sont connectés mais ils font des recherches sur le forum d'après le logiciel : "Effectue une recherche sur les forums" ...
Du coup zont pas le temps de répondre aux fils!
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
Doraki > Dans ton exemple, on a effectivement P(X L'idée de Doraki appliquée aux voitures serait la suivante (pour e=1/10) :
On suppose que la voiture A par exemple a 9 chances sur 10 de finir la course en exactement 1 min, aucune chance de la finir en plus d'une minute et une proba de t/10 de finir la course en moins de t min ( t 1.
Globalement :
-A fini presque surement la course en moins d'une minute alors que B fini presque surement la course en plus d'une minute. La proba que A batte le temps fixé t est toujours plus grande que celle pour B.
- les deux voitures ont globalement tendances à finir la course en exactement 1 min donc à être ex-aequo. La proba que A gagne est donc qu'elle fasse un temps strictement inférieur à 1 minute et cette proba vaut 1/10.
Mais cette construction ne me convient pas vraiment car comme je le faisais remarquer à Doraki, la probabilité que A gagne vaut 1/10 mais la probabilité que A perde est nulle... A est presque surement au pire ex-aequo avec B.
Je voudrais trouver un cas où la probabilité que A perde stricto sensu soit aussi grande que l'on veut.
Bon j'crois pas que ça puisse s'adapter pour ;) <= 1/2 alors il faut faire autre chose :
On prend des v.a. à valeurs dans [0;1].
On prend X uniforme sur [0;2;)] u [4;) ; 1-3;)],
on prend Y = X-;) si X est dans [4;) ; 1-3;)], et si Y = X+1-2;) sinon.
Ben alors je reprends mon cas qui part de discretionnaire connu,
les liens types
(A,B)
(2,9)(2,9)(4,3)(6,5)(8,7)
on met d'abord en proba liées les meilleurs temps de A aux moins bons temps de B, et on intercale autant qu'on veut de liens au milieu où B gagne sur A.Et plus on en met et plus les chances de B augmentent.
ce discretionnaire tu en fais la moyenne de courbes de gauss, ici tu appelles les 5 liens les 5 circuits d'un championnant, pour chaque lien la répartition des temps est gaussien autour des valeurs qs
Tu fais la somme des gaussiennes qui devient les temps possibles de A et B sur le championnat, avec de belles courbes continues.
On aura que A sera toujours avec des temps possibles plus nombreux inférieurs à un t donné que B.
Et pourtant B gagnera plus souvent que A.
PS: maintenant si on reprend un exemple réaliste issu des voitures, c'est pas très réaliste de vouloir humilier ainsi A avec de trop fortes chances pour B.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
Bon Night, comme tu cherchais du propre j'aurais jamais du répondre, mais je trouve rigolo cette situation depuis la première fois où tu as posé ce problème.
Lors du premier fil de discussion avait été réglé le fait que si on choisit les t de A en indépendance des t de B, le challenge est impossible, A gagne.
Donc il faut des probas liées.
Comme tu l'as signalé on trouve des cas discrets qui satisfont pour faire gagner B.
sur cet exo tu cheches du continu , mais propre.
pour le fun je trouve que attribuer un y donné unique pour un x, n'est pas la seule possibilité.
Donc si on reprend des relations de liaisons qui seraient liées à des circuits différents, ou bien à des condtions de courses ou météo différentes,
on voit bien que pour un x de A, on pourrait dire qu'il appartient à une courbe de gauss d'un circuit (ou alors au poids relatif des différents circuits pouvant donner ce t), et que donc il appartient à un lien qui est une courbe de gauss pour pour B.
Donc avec des liens discrets comme le nombre de circuit on peut faire du continu,
versus ce que tu fais = du continu avec un lien discret unique entre chaque x et y.
Non?
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
L'idée de Doraki appliquée aux voitures serait de supposer que globalement dès que A et B s'affrontent B gagne toujours en franchissant la ligne un chouïa avant A. Mais A est toujours équipé de nitro qui a une faible chance de se déclencher au départ de la course. Si elle se déclenche, A termine la course quasiment instantanément et B démoralise et met 3 plombes à atteindre la ligne.
Dans cette situation, A aura tendance à faire des meilleurs temps que B mais la seule manière pour que A gagne est qu'il déclenche sa nitro ce qui est de probabilité aussi faible que l'on veut.
Nightmare a écrit:L'idée de Doraki appliquée aux voitures serait de supposer que globalement dès que A et B s'affrontent B gagne toujours en franchissant la ligne un chouïa avant A. Mais A est toujours équipé de nitro qui a une faible chance de se déclencher au départ de la course. Si elle se déclenche, A termine la course quasiment instantanément et B démoralise et met 3 plombes à atteindre la ligne.
Dans cette situation, A aura tendance à faire des meilleurs temps que B mais la seule manière pour que A gagne est qu'il déclenche sa nitro ce qui est de probabilité aussi faible que l'on veut.
Oui, c'est alors comme le cas discret de la petite série que j'ai mise . B gagne tout le temps, mais A posède les meilleurs temps qui correspondent à des temps exécrables de B.Tout à fait ce que tu décrits que réalise Doraki en mode continu donc.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
