Résoudre équation exponentielle

[spartan]

[FONT=Courier New]Bonjour,

Je sollicite votre aide pour une équation que je n'arrive pas à résoudre.

On considère la fonction f définie sur [0 ; 24] par f(t)= 0,6t*e^(-0.4t+1)

1) Etudier le sens de variation de f sur [0 ; 24].
Pas de difficulté pour cette question, je dérive f, j'étudie le signe de la dérivée et j'en déduis que f est croissante sur [0 ; (5/2)] et décroissante sur [(5/2) ;24]

2) Montrer que l’équation f(t )= 0,3 possède deux solutions et donner des valeurs arrondies à 10^;)1 de ces deux nombres.

0,6t*e^(-0.4t+1)= 0.3
t*e^(-0.4t+1)= (1/2)
t=(1/2)*(1/e^(-0.4t+1))
t=(1/2)*e^(0.4t-1)
t=(1/2)*e^(0.4t)*(1/e)
t=(1/2e)*e^(0.4t)
t=(e^(2t/5)/2e)

A partir de là, je suis bloqué j'ai donc fait différemment :

0,6t*e^(-0.4t+1)= 0.3
2t*e^(-0.4t+1)= 1
t*e^(-0.4t+1)= (1/2)
e^(-0.4t+1)= (1/2t)
-0.4t+1= ln(1/2t)
-0.4t+1= ln(1/2)+ln(t)
-0.4t+1= ln(t)-ln(2)
-0.4t = ln(t)-ln(2)-1
-0.4t-ln(t)= -ln(2)-1
t-ln(t)= (2/5)(-ln(2)-1)

Je suis de nouveau bloqué.

Il doit y avoir une astuce simple ou une règle de calcul des exponentiels que je n'applique pas ou mal.

J'ai calculé avec un logiciel les solutions de 0,6t*e^(-0.4t+1)= 0.3
et je trouve : t= 0.199195 et t= 9.98577.

Quelqu'un a-t-il une idée pour me débloquer ?

Cordialement,

[RIGHT]Spartan.[/RIGHT][/FONT]

[chan79]

[FONT=Courier New]Bonjour,

Je sollicite votre aide pour une équation que je n'arrive pas à résoudre.

On considère la fonction f définie sur [0 ; 24] par f(t)= 0,6t*e^(-0.4t+1)

1) Etudier le sens de variation de f sur [0 ; 24].
Pas de difficulté pour cette question, je dérive f, j'étudie le signe de la dérivée et j'en déduis que f est croissante sur [0 ; (2/5)] et décroissante sur [(2/5) ;24]

2) Montrer que l’équation f(t )= 0,3 possède deux solutions et donner des valeurs arrondies à 10^;)1 de ces deux nombres.

0,6t*e^(-0.4t+1)= 0.3
t*e^(-0.4t+1)= (1/2)
t=(1/2)*(1/e^(-0.4t+1))
t=(1/2)*e^(0.4t-1)
t=(1/2)*e^(0.4t)*(1/e)
t=(1/2e)*e^(0.4t)
t=(e^(2t/5)/2e)

A partir de là, je suis bloqué j'ai donc fait différemment :

0,6t*e^(-0.4t+1)= 0.3
2t*e^(-0.4t+1)= 1
t*e^(-0.4t+1)= (1/2)
e^(-0.4t+1)= (1/2t)
-0.4t+1= ln(1/2t)
-0.4t+1= ln(1/2)+ln(t)
-0.4t+1= ln(t)-ln(2)
-0.4t = ln(t)-ln(2)-1
-0.4t-ln(t)= -ln(2)-1
t-ln(t)= (2/5)(-ln(2)-1)

Je suis de nouveau bloqué.

Il doit y avoir une astuce simple ou une règle de calcul des exponentiels que je n'applique pas ou mal.

J'ai calculé avec un logiciel les solutions de 0,6t*e^(-0.4t+1)= 0.3
et je trouve : t= 0.199195 et t= 9.98577.

Quelqu'un a-t-il une idée pour me débloquer ?

Cordialement,

[RIGHT]Benjamin.[/RIGHT][/FONT]

salut
pour la question 1, c'est pas 2/5 mais 2,5 je pense
calcule f(0.1), f(0.2), f(0.15)

[spartan]

Bonjour,

Oui tout à fait, je me suis juste trompé en écrivant le message, c'est bien 5/2 que j'ai trouvé dans mes calculs, je vais éditer le message.

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f(0.1)= 0,6*0.1*e^(-0.1*t+1);) 0.157
f(0.15)= 0,6*0.1*e^(-0.1*t+1);) 0.23
f(0.2)= 0,6*0.1*e^(-0.1*t+1);) 0.301

Je remarque que pour t= 0.2, f(t);) 0.3 mais ce n'est pas suffisant pour que je puisse réellement résoudre f(t)= 0.3, parce que je dois trouver deux solutions.

[annick]

Bonjour,

Premièrement, d'accord avec ce que viens de te dire Chan79.

Deuxièmement, pour ta résolution d'équation, je pense qu'il faut que tu passes par la méthode graphique :
ta fonction est croissante sur [0;2,5] et varie entre 0 et 1,5, donc elle passe une fois par 0,3.
De même, sur [2,5;24], elle est uniformément décroissante et varie entre 1,5 et 2,6.10^(-3) donc elle passe encore une fois par 0,3.
Elle a donc bien deux solutions sur l'intervalle donné.

Ensuite, ces deux solutions, tu les trouves par approximation sur ta calculatrice.

C'est pour cela que l'on t'avait fait étudier la fonction avant et que la question est posée ainsi :"Montrer que l’équation f(t )= 0,3 possède deux solutions"

[spartan]

Bonjour,

Merci à tous les deux pour vos réponses.

Avant de faire les calculs j'avais trouvé les solutions t= 0.199195 et t= 9.98577 à la calculatrice mais je pensais qu'il fallait obligatoirement une justification par le calcul.

Donc si j'ai bien compris il est inutile que j'essaye de résoudre f(t)= 0,3 ?

[chan79]

Bonjour,

Merci à tous les deux pour vos réponses.

Avant de faire les calculs j'avais trouvé les solutions t= 0.199195 et t= 9.98577 à la calculatrice mais je pensais qu'il fallait obligatoirement une justification par le calcul.

Donc si j'ai bien compris il est inutile que j'essaye de résoudre f(t)= 0,3 ?

OK pour les valeurs trouvées à la calculatrice
Tu ne pourras pas résoudre l'équation; c'est pour ça qu'on te demande des valeurs approchées

[spartan]

Ok j'ai compris, je te remercie.

Bonne après midi,

Cordialement,

Spartan.