Triangle et cercle.

[sniperamine]

Bonsoir j'ai fait cet exercice mais je cherche une démonstration niveau 4 éme. j'ai pas eu l'idée. si vous en avez une merci d'avance.
ABC est un triangle isocèle en A. J le pied de la hauteur issue de B et I la hauteur issue de C.
Montrer que (IJ)//(BC).

[jl29]

Par symétrie axiale, c'est faisable.
Si H est l'orthocentre du triangle isocèle en A, l'axe (AH) est un axe de symétrie du triangle.
symétrique de H-------------> H
symétrique de B-------------> C
donc
symétrique de (BJ) ou (BH) -------------> (CH) ou (CI)
symétrique de (AB) -------------> (AC)
donc tu arrives alors à montrer que J point d'intersection de (BH) et (AC) est I.

Si I et J sont symétriques par rapport à l'axe (AH) alors (IJ) et (AH) sont perpendiculaires.
et alors ensuite tu as (IJ) et (BC) perpendiculaires toutes les 2 à (AH) donc elles sont parallèles.

Je ne vois rien de plus simple que cette méthode et elle me semble pas si évidente que ça pour des 4èmes sans question intermédiaire

[chan79]

Par symétrie axiale, c'est faisable.
Si H est l'orthocentre du triangle isocèle en A, l'axe (AH) est un axe de symétrie du triangle.
symétrique de H-------------> H
symétrique de B-------------> C
donc
symétrique de (BJ) ou (BH) -------------> (CH) ou (CI)
symétrique de (AB) -------------> (AC)
donc tu arrives alors à montrer que J point d'intersection de (BH) et (AC) est I.

Si I et J sont symétriques par rapport à l'axe (AH) alors (IJ) et (AH) sont perpendiculaires.
et alors ensuite tu as (IJ) et (BC) perpendiculaires toutes les 2 à (AH) donc elles sont parallèles.

Je ne vois rien de plus simple que cette méthode et elle me semble pas si évidente que ça pour des 4èmes sans question intermédiaire

Salut
Petite variante
soit d l'axe de symétrie du triangle
Le symétrique de C par rapport à d est B.
La symétrique de (AB) par rapport à d est (AC).
Les symétries conservent la perpendicularité.
Comme (IC) est perpendiculaire à (AB), la symétrique de (IC) passe par B et est perpendiculaire à (AC), c'est (BJ). Donc le symétrique de I est J.
On pourrait utiliser le cercle de diamètre [BC] qui passe par I et J ...

[sniperamine]

Bonsoir chan et ji oui justement j'avais pensé à la symétrie axiale aussi et j'ai fait une démonstration niveau troisième, mais je me disais qu'il y avait une autre méthode sans passer par la symétrie axiale merci quand même :)

[chan79]

Bonsoir chan et ji oui justement j'avais pensé à la symétrie axiale aussi et j'ai fait une démonstration niveau troisième, mais je me disais qu'il y avait une autre méthode sans passer par la symétrie axiale merci quand même

Alors on peut tracer le cercle de diamètre [BC] qui passe par I et J.


Les angles a et b sont égaux car ils sont complémentaires aux angles de base du triangle ABC ( voir triangle BCI et BCJ.
Les angles b et c sont égaux car ils interceptent le même arc.
donc a=c, ce qui prouve que (IJ) et (BC) sont parallèles (angles alternes-internes égaux).

[sniperamine]

Alors on peut tracer le cercle de diamètre [BC] qui passe par I et J.


Les angles a et b sont égaux car ils sont complémentaires aux angles de base du triangle ABC ( voir triangle BCI et BCJ.
Les angles b et c sont égaux car ils interceptent le même arc.
donc a=c, ce qui prouve que (IJ) et (BC) sont parallèles (angles alternes-internes égaux).

Salut c'est pas une démonstration niveau 4 éme lol tu as utilisé les angles inscrits lol

[chan79]

Salut c'est pas une démonstration niveau 4 éme lol tu as utilisé les angles inscrits lol

Je pense qu'on t'a donné une méthode avec les symétries axiales.
Si tu nous montrais ce que tu as fait ?

[sniperamine]

Je pense qu'on t'a donné une méthode avec les symétries axiales ...

Oui et j'avais répondu à vos messages

[chan79]

Oui et j'avais répondu à vos messages

Avec le cosinus, on peut montrer que IJH (H orthocentre) est isocèle puis que a=c

[sniperamine]

Avec le cosinus, on peut montrer que IJH (H orthocentre) est isocèle puis que a=c

Oui je vais revoir cet exercice après, merci pour tes propositions